MÉMOIRE SUR LES POMPES.

Par M. le Chevalier de Borda.

L'OBJET de ce Mémoire est d'examiner l'effet des étranglemens ou contractions que les colonnes d'eau qui se meuvent dans les Pompes, éprouvent eu traversant les passages des soupapes.

La méthode dont je vais me servir dans cet examen, pouvant s'appliquer avec une égale facilité à toutes les différentes espèces de pompes, j'ai pensé qu'il suffiroit de faire des recherches sur une seule espèce & j'ai choisi celle qui est la plus ordinaire; cette pompe qui est représentée dans la figure 1.^re, est composée d'un simple tuyau vertical dont une extrémité puise dans un réservoir MNOQ, & l'autre extrémité aboutit à un bassin AB dans lequel l'eau est élevée, la partie inférieure du corps de pompe contient une soupape KL, & le piston porte d'autres soupapes H & I; il est facile d'imaginer que, lorsque le piston monte, l'eau inférieure pressée par le poids extérieur de l'atmosphère fait ouvrir la soupape KL & entre dans la partie KH du corps de pompe; que pendant ce mouvement l'eau supérieure se dégorge dans le bassin AB, & qu'ensuite, lorsque le piston descend, l'eau inférieure pressée par le poids de ce piston, en fait ouvrir les soupapes & passe dans la partie supérieure HF.

Je vais considérer dans les deux problèmes suivans deux manières principales de faire mouvoir les pistons des pompes.

PROBLEME I.

Soit une roue VST qui tourne par l'action du poids P & qui fait mouvoir par le moyen d'une manivelle RX le piston HI d'une pompe CO, on suppose que cette roue ait acquis un mouvement à peu près uniforme, on demande l'effet de la résistance produite par les étranglemens.

Solution.

Pour résoudre ce problème, je me servirai du principe de la conservation des forces vives, de la même manière que je l'ai fait dans mon Mémoire sur la Théorie des fluides, imprimé dans le volume de l'Académie de 1766; on a par ce principe l'incrément des forces vives de tout le système, pendant un instant, plus la perte de forces vives faite pendant le même instant,égal à l'incrément des momens de tout le, système par rapport à un plan horizontal supérieur; mais je remarque qu'après une révolution entière la somme des incrémens des forces vives est nulle, parce qu'on suppose que la vîtesse de la roue est toujours la même, à la fin de chaque révolution; il suit de-là que la somme des pertes de forces vives après une révolution entière, sera égale à la variation des momens de tout le système pendant ce même temps; il s'agit donc de trouver ces deux quantités, & pour cela

Soit la surface de la section transversale CF du corps de pompe.	= A.
Celle de la section DE de la branche qui porte, le piston.	= a.
La hauteur à laquelle l'eau est élevée.	= H.
Le rayon SX de la roue.	= R.
Celui de la manivelle RX.	= r.
La vîtesse de la circonférence de la roue que je supposerai à peu près uniforme.	= V.
Le poids qui sait mouvoir la roue .	= P.
La force de la gravité .	= g.
Un élément. du temps.	= dt.
L'angle TXS qui marque la postion de la manivelle après un temps quelconque t .	= Z.

Cela posé, je cherche d'abord la quantité de forces vives perdues par le fluide pendant l'ascension du piston. Je remarque 1.° que la colonne de fluide NOZY, en entrant dans le corps de: pompe, éprouve une contraction, & acquiert par conséquent un accroisserrent de vîtesse qu'elle perd ensuite contre le fluide supérieur; or j'ai sait voir dans mon Mémoire sur les fluides, que cette perte de vîtesse supposoit dans le système une perte de forces vives proportionnelle au carré de la différence des vîtesses de cette colonne, avant & après le choc; toit donc v la vîtesse actuelle du piston, mv celle du fluide au point de la contraction, & ε la petite tranche de fluide qui entre dans le corps de pompe pendant un instant, on aura la perte de forces vives qui vient de cette première contraction $= \frac{ε {νμ}^{2}}{2 g} \times {(m - 1)}^{2}$ ; 2.° par la même raison, la colonne de fluide se contractant encore lorsqu'elle passe à travers la soupape KL, il y aura une nouvelle perte de forces vives qui, en supposant que le fluide acquiert par cette féconde contraction une vitesse nv, sera $= \frac{ενν}{2 g} \times {(n - 1)}^{2}$ ; 3.° le fluide qui se dégorge dans le bassin supérieur, perd toute sa vîtesse contre le fluide stagnant de ce bassin, ii y a donc encore dans cet endroit une autre perte de force vives $= \frac{ε . (A - a) . νν}{A . 2 g}$ ; réunissant toutes ces quantités, on aura la perte de forces vives faite par le fluide dans un instant $= ε \frac{νν}{2 g} ({(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} + \frac{A - a}{A})$ ; mais $ν = \frac{Vr \sin . z}{R}$ , $ε = A \times νdt = Ardz \sin . z$ ; mettant ces valeurs dans l'expression ci-dessus, on aura $\frac{AVV r^{3}}{2 g R^{2}} \times \sin . z^{3} dz \times ({(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} + \frac{A - a}{A})$ ; intégrant cette quantité, on trouvera la perte de forces vives faite par le fluide pendant. tout le temps de l'ascension du piston $= \frac{AVV r^{3}}{2 g R^{2}} \times \frac{4}{3} ({(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} + \frac{A - a}{A})$ .

Cherchons maintenant les forces vives perdues pendant la descente du piston. Il est clair que la colonne de fluide se contractera en passant à travers les soupapes H & I; supposons que cette contraction soit dans le rapport de p à 1, on verra facilement que la vîtesse du fluide au point de la contraction sera = v × (p − 1); d'ailleurs la vîtesse du fluide au-dessus du, piston $= \frac{av}{A - a}$ ; d'où il s'ensuit qu'il y aura au passage de cette soupape une perte de forces vives $= ε \times \frac{vv}{2 g} \times {(p - 1 - \frac{a}{A - a})}^{2}$ ; outre cela, la quantité de fluide qui se dégorge dans le bassin supérieur $= ε \times \frac{a}{A}$ , & sa vîtesse $= \frac{av}{A - a}$ & comme cette quantité de fluide perd tout son mouvement dans le bassin supérieur, il y aura encore une perte de forces vives $= \frac{εa}{A} \times {(\frac{a}{A - a})}^{2} \times \frac{vv}{2 g}$ ; donc toute la force vive perdue par le fluide pendant un instant de la descente du piston, sera $= \frac{εvv}{2 g} \times ({(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + \frac{a}{A} \times {(\frac{a}{A - a})}^{2}) = - \frac{A V^{2} r^{3} dz \sin . z^{3}}{2 gRR} ({(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + \frac{a}{A} \times {(\frac{a}{A - a})}^{2})$ ; intégrant, on aura la perte de forces vives, faite pendant tout le temps de la descente du piston $= \frac{A r^{3} V^{2}}{2 g R^{2}} \times \frac{4}{3} \times ({(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + \frac{a}{A} \times {(\frac{a}{A - a})}^{2})$ . On aura donc la somme des forces vives perdues pendant l'aspiration entière $= \frac{A r^{3} V^{2}}{2 g R^{2}} \times \frac{4}{3} \times ({(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} + \frac{A - a}{A} + {(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + \frac{a}{A} \times {(\frac{a}{A - a})}^{2})$ .

Quant aux momens de tout le système par rapport à un plan horizontal supérieur, il est clair que le poids p sera descendu après une révolution entière d'une quantité R × 360°, & qu'une quantité de fluide 2rA sera montée d'une hauteur H; on aura donc la variation totale des momens pendant une aspiration = pR × 360° − 2 rAH; égalant cette quantité à celle que nous avons trouvée pour la perte des forces vives, on aura enfin l'équation $pR \times 360 ° - 2 rAH = \frac{A r^{3} v^{2}}{2 g R^{2}} \times \frac{4}{3} ({(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} + \frac{A - a}{a} + {(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + a \times {(\frac{a}{A - a})}^{2})$ dont le second membre donne l'effet des étranglements, C. Q. F. T. & D.

Corollaire I.

Il est facile de voir par la solution, que le défaut causé par les étranglemens est, toutes choies égales d'ailleurs, proportionnel au carré de la vîtesse de la roue, & par conséquent au carré du nombre d'aspirations faites dans un temps donné.

Corollaire II.

Si le fluide n'éprouvoit aucune contraction dans le corps de pompe, on auroit $p = \frac{2 rAH}{R \times 360 °}$ ; d'où on conclut que sa forcé qui suffiroit pour faire agir cette pompe, s'il n'y avoit pas de contraction, est à la force nécessaire lorsqu'il y a des contractions, comme 2 rAH est à
$2 rAH + \frac{A r^{3} V^{2}}{2 g R^{2}} \times \frac{4}{3} ({(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} + \frac{A - a}{a} + {(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + \frac{a^{3}}{{(A - a)}^{2}})$ .

PROBLEME II.

Supposons que la force qui fait mouvoir le piston, au lieu d'agir par le moyen d'une manivelle, Toit appliquée directement à la branche mn, & fasse aller la pompe en élevant & en laissant tomber alternativement le piston; on demande de déterminer la résistance produite par les contractions que la colonne de fluide éprouve dans le corps de pompe.

Solution.

Je suppose pour simplifier la question, que le piston monte & descend uniformément; cela posé, soit t le temps pendant lequel il monte, θ celui pendant lequel il descend, h le jeu du piston, & F la force moyenne employée, on aura en conservant les dénominations de la solution précédente, 1.° les forces vives perdues pendant le temps de l'aspiration entière $= \frac{h^{3}}{2 g t^{2}} \times ({(m - 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} + \frac{A - a}{A} + \frac{h^{3}}{2 g Θ^{2}}) \times ({(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + a {(\frac{a}{A - a})}^{2})$ . 2.° La variation du moment de la force = hF, celle du fluide = AhH; on aura donc $hF - AhH = \frac{h^{3}}{2 g t^{2}} \times ({(m - 1)}^{2} + (n - 1) + \frac{A - a}{A}) + \frac{h^{3}}{2 g Θ^{2}} ({(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + a {(\frac{a}{A - a})}^{2})$ , ce qui donnera l'effet des contractions ou étranglemens. C. Q. F. T. & D.

Remarque.

J'ai supposé dans la dernière solution, que le piston se mouvoit uniformément, soit dans Je temps qu'il monte, soit dans le temps qu'il descend; quoique cette supposition soit évidemment fausse, il ne paroit pas qu'elle puisse donner de grandes erreurs dans la pratique, parce qu'en effet le mouvement du piston parvient très-promptement à l'uniformité; au reste si on vouloit avoir égard aux variations de la vîtesse du piston pour en conclure plus exactement la tomme des forces vi ves perdues, il faudroit d'abord déterminer le mouvement du piston pendant tout le temps de l'aspiration entière, & pour cela on pourroit employer la méthode dont je me suis frai dans mon Mémoire sur les fluides; mais on tomberoit dans des résultats longs & embarrassans, parce qu'il faudroit avoir égard au mouvement du piston, non-seulement loriqu'il est élevé par la force motrice, mais encore lorique, abandonné par cette force, il continue à se mouvoir par la vîtesse acquise; il faudroit outre cela faire entrer dans ce calcul la force vive que le piston perd subitement à la fin de si chute, & encore malgré toutes ces considérations, la solution ne feroit jamais entièrement exacte, parce qu'on ne pourroit connoitre qu'imparfaitement la loi de la force motrice.

Applications à la pratique.

Je me propose de montrer dans les exemples suivans, la manière dont on doit faire usage de ma solution dans la pratique, la première application que je serai regardera les pompes que les machines-à-feu font mouvoir, on sait que le jeu du piston de ces sortes de pompes est ordinairement fort grand, ainsi ce sera un extrême dans ce genre que nous considèrons.

J'ai eu la facilité d'exàminer une de ces machines qui vient d'être établie aux mines de charbon de Montrelais près d'Ingrande-sur-Loire, elle eléve les eaux de la profondeur de 612 pieds par dix répétitions de pompe, dont chacune est de 61 à 62 pieds, les pistons ont 6 pieds 3 pouces de jeu, & la machine donne neuf coups de piston par minute, ainsi chaque vibration dure 6"⅔, mais j'ai remarqué que dans les changemens de mouvement de la machine, c'est-à-dire lorsque le piston après être descendu va remonter, ou qu'après être monté il va redescendre, il y a un petit intervalle de temps pendant lequel la machine est pour ainsi dire en repos, & qu'autre cela le mouvement est très-lent dans les premiers inflans de l'ascension & de la descente du pâton; d'après ces considérations j'ai estimé que le vrai temps de la vibration étoit réduit à 5"⅓ & chaque demi-vibration à 2"⅔.

Cela posé, j'ai cherché les différentes contractions qu'éprouvent les colonnes de fluide; pour cela, j'ai mesuré d'abord les ouvertures des soupapes des pistons, mais j'ai vu que cela ne suffisoit pas pour connaître les vraies contractions; en effet 1.° l'eau arrive à ces ouvertures par différentes directions convergentes qui, après que l'eau a traversé les soupapes, produisent un resserrement dans les colonnes plus grand que celui qu'indiqueroit le seul rétrécissement des passages. 2.° Par la manière dont les valvules, s'ouvrent, le fluide est rejeté contre la circonférence du corps de pompe, ce qui augmente encore le resserrement; il suit de-là que les contractions sont plus grandes qu'an ne l'estimeroit par le rapport du passage des soupapes à l'ouverture entière de la pompe; & c'est pour cela que quoique dans le piston que j'ai examiné ce rapport fût celui de 4. à 1, j'ai estimé que la vîtesse du fluide au point de la contraction, étoit six fois plus grande que celle du piston; quant à la soupape fixe, il m'a paru qu'elle devait contracter la colonne dans le rapport de 5 à 1; enfin l'orifice inférieur du corps de pompe étant garni d'une petite grille destinée à empêcher les corps étrangers d'entrer dans le corps de pompe, j'ai estimé que les différens resserremens qu'elle produisoit, équivaloient à la contraction causée par la soupape fixe KL.

On aura donc dans l'exemple que nous examinons, m = 5, n = 5, p = 6, H = 61, h = ¼, t = Θ = 2",66; & j'ai trouvé que a = ģA; mettant ces valeurs dans l'équation du Problème II, on aura $F = A \times (61 + \frac{{(6 ¼)}^{2}}{60 \times {(2,66)}^{2}} \times (16 + 16 + \frac{2}{3} + \frac{81}{4} + \frac{1}{6})) = A \times (61 + 4,88)$ ; & par conséquent la force nécessaire pour faire mouvoir cette pompe, est à la force qui suffiroit, s'il n'y avoit pas de contraction, comme 61 + 4,88 est à 61; d'où il suit que les différens étranglemens que les colonnes de fluide épi ouvoient dans les pompes diminuoient l'effet de la machine de plus d'un 13.^me

J'ai encore appliqué ma solution à l'examen des pompes d'une autre machine-à-feu que j'ai vu employée au dessèchement d'un grand lac, cette machine n'élevoit l'eau qu'à 5 pieds de hauteur feulement, elle faifoit dix aspirations par minute, le jeu de chaque piston étoit de 6 pieds : il y avoit, ainsi que dans la machine précédente, deux temps de repos, chacun d'une demi-seconde à peu près entre les changemens de mouvement de la machine; le piston paroissoit monter avec plus de vîtesse qu'il ne descendoit, & j'estimai que le temps de la levée étoit à celui de la descente, comme 3 est à 4. Par la mesure des ouvertures des sou papes & par la manière dont les clapets s'ouvroient, je jugeai que les passages des soupapes du piston, contractoient la colonne de fluide dans le rapport de 4½ à 1, & que les soupapes inférieures produisoient une contraction un peu plus grande; enfin, je trouvai due la contraction à l'entrée du corps de pompe pouvoit être négligée, ainsi que la grosseur des branches de fer qui portoient les pistons; on avoit donc m = 1, n = 4¾, à peu près, p = 4½, a = 0, t = 2 1/7, Θ = 2 6/7; mettant ces valeurs dans l'équation du Problème II, on aura $F = A \times (5 + \frac{6^{2}}{60 \times {(2 \frac{1}{7})}^{2}} \times ({(\frac{15}{4})}^{2} + 1) + \frac{6^{2}}{60 \times {(2 \frac{6}{7})}^{2}} \times (\frac{49}{4})$ ; par conséquent la force nécessaire pour faire mouvoir ces pompes, étoit à la force qui auroit suffi s'il n'y avoit eu aucun étranglement dans les colonnes de fluide, comme 7,868 est à 5.

Pour faire voir dans cet exemple, combien les défauts qui viennent des étranglemens, sont augmentés par la vîtesse qu'on donne aux pistons, supposons que sans rien changer à cette machine on eût seulement rapproché d'un tiers de leur distance les centres des pompes du centre du balancier, & qu'on eût augmenté le nombre de ces pompes, de manière que la machine eût toujours eu la même résistance à vaincre, & qu'elle eût donné le même nombre de coups de piston que ci-devant; il est clair qu'alors le jeu des pistons des pompes auroit été réduit aux deux tiers de ce qu'il étoit auparavant; par conséquent, la quantité 2,868, que nous avons trouvée pour l'effet des étranglemens, auroit été diminuée dans le rapport de 9 à 4; on auroit donc eu = F' = A × (5 + 1,275); mais on avait ci-dessus = F = A × (5 + 2,868); ainsi par ce seul changement, les résistances de chaque piston auroient diminué, & l'effet de la machine auroit pu être augmenté dans le rapport de 7868 à 6275, ou de 5 à 4.

La dernière application que je vais faire regardera les pompes qu'on emploie ordinairement dans nos Vaisseaux. La pompe que j'ai examinée avoit 6 pouces de diamètre intérieur; le passage de la soupape inférieure avoit 3 pouces ½ de diamètre, ce qui indiqueroit une contraction dans le rapport de 3 à 1 seulement; mais par les raisons que j'ai données ci-dessus, cette contraction étoit en effet plus grande, & je l'ai estimée dans le rapport de 4½ à 1. J'ai estimé de la même manière que la contraction produite par le passage de la soupape du piston étoit dans le rapport de 6 à 1; enfin l'orifice inférieur de la pompe étoit garni düne lame de plomb percée de plusieurs petits trous qui, ensemble, pouvoient être égaux au passage de la soupape KL, & qui devoient produire à peu-près la même contraction que cette soupape.

J'ai vu mouvoir cette pompe par le moyen de onze hommes; qui, dans 15 minutes de temps, ont donné cinq cents quatre-vingt-deux coups de piston dont le jeu moyen étoit de 2 pieds; comme il m'a paru que le piston employoit moins de temps à monter qu'à descendre, je supposerai que le temps de la levée étoit à celui de la descente, comme 3 à 4; d'après cela, le piston devoit monter dans 0",663 & descendre dans 0",883; mais je réduis ces temps à 0",6 & 0",8, à cause des momens de repos qui se trouvoient entre les changemens de mouvement du piston.

D'après ce que nous venons de dire, on a m = 4½, n = 4½, p = 6, t = 0",6 & Θ = 0",8; d'ailleurs H étoit = 15 pieds, a = 2/7 A; mettant ces valeurs dans l'équation du Problème, on aura

$F = A (15 + \frac{4}{60 \times {(0,6)}^{2}} \times (\frac{49}{2} + \frac{5}{7}) + \frac{4}{60 \times {(0,8)}^{2}} \times ({(\frac{23}{5})}^{2} + \frac{2}{7} \times \frac{4}{25}) = A \times (15 + 6,88)$ d'où iI suit que par l'effet des étranglemens, il y avoit presque un tiers de la force de perdu.

Supposons que le jeu du piston n'eût été que de 18 pouces au lieu de 2 pieds, on auroit trouvé F = A × (15 + 6,88 × 9/16) = A × (15 + 3,87), & alors la résistance causée par les étranglemens n'auroit été que la cinquième partie à peu-près de la force totale employée.

Supposant encore que le jeu du piston n'eût été que de 18 pouces, & qu'outre cela le nombre de vibrations eût été réduit à 30 par minute (au lieu que dans l'expérience citée il étoit de 39 par minute), la résistance causée par les étranglemens n'auroit plus été que l'a septième partie de la farce totale.

Nous croyons inutile de pousser plus loin les applications de notre solution; on comprend assez la manière dont il faut s'en servir pour déterminer dans tous les cas les défauts qui viennent des étranglemens, non-seulement dans les pompes que nous venons d'examiner, mais encore dans toutes les autres espèces de pompes.

ADDITION.

J'AI supposé, dans ma solution du Probleme II, que le piston, après avoir été élevé par l'action de la force F, retomboit ensuite par son propre poids; j'ai eu la curiosité d'éprouver si le temps qu'un piston emploieroit à descendre d'une hauteur donnée dans un corps de pompe, différeroit beaucoup de celui qu'on trouveroit par ma théorie. Pour cela, j'ai d'abord cherché le mouvement du piston, & je l'ai déterminé de la manière sùivante.

Fig. 1.

Soit la hauteur CG du bassin AB	= b
La hauteur d'une colonne d'eau qui auroit le même diamètre que le corps de pompe & la même pesanteur que le piston	= E.
La section transversale du corps de pompe	= A.
Celle de la branche qui porte le piston	= a.
La section de la colonne de fluide à sa plus grande contraction lorsqu'elle a traversé la soupape	= pA.

Supposons qu'après un temps t depuis le commencement du mouvement, le piston soit parvenu en H, & soit HG = x, la vîtesse en H = u, & la force de la gravité = g.

On aura 1.° la force vive du piston $= A E \frac{uu}{2 g}$ , celle du fluide $CI = (A - a) \times (x - b) \times \frac{aauu}{2 g \times {(A - a)}^{2}}$ (parce que la vîtesse de cette partie du fluide $= \frac{au}{A - a}$ ); donc la force vive totale actuelle $= \frac{uu}{2 g} \times (AE + \frac{aa}{A - a} \times (x - b))$ & son incrément = $\frac{udu}{2 g} \times (AE + \frac{aa}{A - a} \times (x - b)) + \frac{uu}{2 g} \times \frac{aa}{A - a} dx$ .

2.° La perte de forces vives pendant cet instant = (Prob. II) $\frac{uudx}{2 g} \times (A \times {(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + \frac{a^{3}}{{(A - a)}^{2}})$ .

3.° L'incrément du moment du piston = AEdx, & celui du moment du fluide = − axdx.

Donc on aura en réunissant ces trois espèces de quantités $\frac{udu}{g} \times (AE + \frac{aa}{A - a} \times (x - b)) + \frac{uudx}{2 g} \times ({(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + \frac{A a^{2}}{{(A - a)}^{2}}) = (AE - ax) dx$ . C. Q. F. T.

Intégrant cette équation, on parvient à une expression finie de la vîtesse; mais pour tirer de cette expression une valeur de t en x qui est celle qu'il nous importe de connoître, il est nécessaire de recourir à une approximation, & voici celle qui m'a paru la plus simple; j'ai remarqué que les coëfficiens de x dans l'équation trouvée, sont très-petits, & que d'ailleurs la différence entre la plus grande & la plus petite valeur de x est peu considérable, d'où il suit (qu'on peut sans une grande erreur mettre pour x dans le coëfficient de udu une valeur constante h qui tienne le milieu entre les valeurs extrêmes de x, & alors l'équation prendra cette forme Mudu + uudx = Ndx, (M & N étant des constantes positives); intégrant, on aura $uu = N \times (1 - c^{- \frac{2 (x - h^{'})}{M}})$ h´ étant la valeur de x au commencement du mouvement mettant ensuite pour u sa valeur $\frac{dx}{dt}$ , & intégrant de nouveau on aura l'équation $t = \frac{M}{2 \sqrt{(N)}} \times L (\frac{1 + \sqrt{(1 - c^{- \frac{2 e}{M}})}}{1 - \sqrt{(1 - c^{- \frac{2 e}{M}})}})$ dans laquelle e est la quantité dont le piston est descendu,

$M = \frac{E + \frac{aa}{A \times A - a} (h - b)}{{(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + \frac{a^{3}}{{(A - a)}^{2}}} \times 2$ , $N = \frac{E - \frac{ha}{A}}{{(p - \frac{A}{A - a})}^{2} + \frac{a^{3}}{{(A - a)}^{2}}} \times 2 g$ .

Maintenant, voici l'expérience que j'ai faite, j'ai cloué sur (ouverture de la soupape d'un piston, une plaque de fer-blanc, dans le milieu de laquelle il y avoit un trou exactement rond de 18 lignes de diamètre; ce piston, que j'avois chargé de poids suffisans, étant à son point le plus bas, pesoit 41 livres, & comme il déplaçoit un volume d'eau d'un demi-pied cube, son poids total étoit de 77 livres, ce qui équivaloit à une colonne de 5 pieds ½ de hauteur (parce que le corps de pompe avoit 6 pouces de diamètre); j'ai observé plusieurs fois avec un pendule à demi-seconde, que ce piston ainsi chargé ayant été élevé dans la pompe à la hauteur de 4 pieds, est descendu dans le temps de douze vibrations du pendule; voyons à présent ce que le calcul donneroit. Nous avons déjà dit que le trou fait dans la plaque de fer-blanc n'avoit que 18 lignes de diamètre, ainsi le passage de l'eau n'étoit que la seizième partie de l'étendue de la section du corps de pompe, ce qui indiqueroit une contraction dans le rapport de 16 à 1; mais la colonne de fluide, après avoir traversé la soupape, se contractoit encore dans le rapport de 14 à 10 à peuprès; donc la contraction totale étoit dans le rapport de 16 x 14 à 10, ou de 22,4 à 1; on avoit donc p = 22,4; d'ailleurs a étoit = 2/7 A & h = 7. Mettant ces valeurs dans l'équation ci-dessus, on trouvera t = 5"¾; or l'expérience a donné 6", ainsi ma théorie s'accorde assez bien avec l'expérience.

Remarque qui a rapport à la résistance des fluides.

Si dans l'équation que nous venons de trouver, on suppose que la vîtesse est parvenue à l'uniformité, que la branche qui porte le piston a un diamètre infiniment petit, & que le piston est abandonné à sa seule pesanteur, on trouvera $uu = \frac{2 gE}{{(p - 1)}^{2}}$ ; d'où il suit que la vîtesse d'un piston quise meut dans un corps a de pompe étant u, la résilance qu'il épruve $= \frac{Auu \times {(p - 1)}^{2}}{2 g}$ ; Fig. 2. ainsi en supposant (fig. 2) que la colonne qui passe à travers la soupape se contracte de manière qu'elle n'ait plus que le diamètre CD, on aura la hauteur de la colonne de fluide qui représente la résistance $= \frac{uu}{2 g} \times (\frac{A B^{2}}{C D^{2}} - 1)$ .

Fig. 3.

De la même manière, si un cercle AB (fig. 3) d'un diamètre plus petit que le corps de pompe, se mouvoit perpendiculairement à l'axe de la pompe, en faisant refouler l'eau autour de sa circonférence, & que par ce mouvement la colonne de fluide contractée n'occupât plus que la couronne CDEF, la résistance qu'épouveroit ce cercle seroit $= \frac{Auu}{2 g} \times (\frac{DE}{C F^{2} - D E^{2}})$ ; mais il faut remarque que se résultat n'est excat que lorsque l'intervalle entre le cercle & les parois intérieures de la pompe est fort petit, parce qu'alors on peut supposer, ainsi que nous l'avons fait dans notre solution, que les molécules de fluide qui sont resoulées, se meuvent toutes avec la mêne vîtesse: au lieu que si le diamètre de la pompe étoit beacoup plus grand que celui du cercle (comme dans la figure 4), les parties voisines de la circonférence du cercle ayant alors beaucoup plus de vîtesse que celles qui en seroient éloignées, l'expression qie nous avons trouvée pour la résistance, seroit fondée sur une fausse supposition. Il faudroit dans le cas de la figure 4, pouvoir déterminer la plus grande vîtesse à laquelle chaque molécule parvient; prenant ensuite la somme des carrés de ces plus grandes vîtesses, on auroit une quantité proportionnelle à la résistance.

Borda: Mémoire sur les pompes.
Académie royale des sciences, Paris, 1780. pp 418-431, 1 plate.
Histoire de l'académie royale des sciences. Annnée M.DCCLXVIII. Avec les Mémoirs de Mathémathique & le Physique, pour la même Année, Tirés des Registres de cette Académie.

Transcribed by Lars Bruzelius.

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