SOLUTIONS
DES PRINCIPAUX PROBLÉMES
DE LA
MANŒUVRE DES VAISSEAUX.

Par M. BOUGUER.

LES Méchaniciens savent combien la théorie de la manœuvre des Vaisseaux renferme de difficultés: le navire est exposé en même temps à l'action de deux fluides qui le frappent selon des directions différentes; & quoique sa forme soit extrêmement propre pour le sillage, il ne suit presque jamais dans sa marche la direction de son axe. Cette complication de mouvemens ou d'actions est telle, que quoique plusieurs Savans eussent examiné cette matière, on en ignora cependant les vrais principes jusqu'à ce que M. Jean Bernoulli les établît d'une manière solide dans son Essai de manœuvre. Ce fameux Géomètre résolut en même temps les problèmes les plus simples, mais en négligeant toûjours plusieurs attentions qui étoient de la plus grande importance: il considéra le navire comme s'il étoit environné d'un simple trait horizontal, quoique sa carène soit terminée par une surface courbe dans tous les sens: il regarda comme nulle, dans plusieurs de ses recherches, sa dérive ou la déviation de la route par rapport à l'axe du navire: il supposa de plus que la vîtesse du vent étoit comme infinie, quoiqu'elle soit à peine triple ou quadruple de celle du sillage, & qu'il soit certain que l'impulsion du vent souffre un changement très-considérable par la manière dont les voiles évitent une partie du choc par la suite plus ou moins rapide du navire: il supposa enfin que le vaisseau n'avoit qu'une seule voile, au lieu que nos navires en ont presque toûjours plusieurs, les unes placées devant les autres, & appliquées à différens mâts. Cette multiplicité de voiles est cause que l'impulsion se fait sur une plus grande ou une moindre surface, lorsqu'on reçoit le vent plus ou moins de côté; ce qui doit apporter de nouveaux changemens dans les règles de manœuvre, parce que le choc cessant d'être proportionnel au quarré du sinus d'incidence, il faut avoir égard à l'augmentation ou à la diminution de la surface frappée.

J'ai eu occasion, quoiqu'en passant, d'examiner ce sujet dans le Traité du Navire: j'ai montré principalement qu'on pouvoit marquer d'une manière très-simple & très-générale la relation qui se trouve entre la situation des voiles & l'angle de la dérive, pour toutes les figures de la carène, pourvû que l'eau ne frappât que sur les mêmes parties. On avoit cru que cette relation étoit absolument différente pour chaque figure, & qu'elle devenoit plus ou moins compliquée par la nature des surfaces courbes, géométriques ou méchaniques, qui terminoient la carène, au lieu qu'elle est exactement la même pour toutes, dans la condition marquée. J'ai fourni en même temps des constructions méchaniques de tous les problèmes qui se présentent sur ce sujet, non pas dans la supposition trop forcée, admise par M. Bernoulli, que la vîtesse du vent étoit infinie, mais en considérant cette vîtesse dans son état actuel. Il restoit à appliquer ces recherches aux cas particuliers, ce qui pouvoit présenter de nouvelles difficultés, & à y faire entrer une considération qui devoit les multiplier encore beaucoup davantage, celle de la pluralité des voiles lorsqu'elles sont placées les unes devant les autres: c'est ce que je tâche d'exécuter dans ce Mémoire. En me proposant de ne négliger aucune attention essentielle, cependant je parviendrai, à ce que je crois, à des solutions entre lesquelles il y en aura d'extrêmement simples; & à l'égard de celles qui seront trop compliquées, il sera toûjours déformais facile d'en renfermer les résultats dans des tables qu'il n'y aura qu'à consulter dans l'occasion.

Il est vrai qu'au lieu de m'occuper de la solution directe des problèmes dont il s'agit, je me suis borné à chercher des règles qui sissent connoître à chaque instant de la navigation, si le navire étoit réellement dans la disposition convenable. Un des principaux problèmes qu'on puisse se proposer, c'est de trouver la situation des voiles par rapport au navire & par rapport au vent, lorsqu'on veut suivre une certaine route; mais on ne connoît presque jamais assez bien la direction du vent en mer, parce qu'elle est sans cesse altérée par le mouvement du navire, qu'on attribue au vent même. Ainsi, lorsqu'on se propose d'embrasser une route, il ne faut pas ordinairement regarder l'angle qu'elle fait avec la direction du vent, comme donné. Le navire change de position par l'action du gouvernail ou par celle du vent, & on oriente ses voiles peu à peu. Ce changement en apporte toûjours nécessairement dans la direction & la force relatives du vent, indépendamment des changemens physiques ou réels qui peuvent y survenir: il arriveroit donc très-souvent que la détermination fournie par la solution du problème, quoiqu'exacte pour l'instant auquel on vouloit changer de route, se trouveroit désectueuse après qu'on auroit achevé la manœuvre nécessaire: il faudroit faire plusieurs applications successives du même problème, applications qui auroient toûjours leurs difficultés, & qui demanderoient beaucoup de temps dans des rencontres où on n'en a pas toûjours assez. Mais il paroît bien plus avantageux pour la pratique d'avoir des règles qui servant de criterium dans chaque instant, nous apprennent sans cesse si les voiles & le navire sont dans la disposition la plus convenable, & qui indiquent dans quel sens il faut changer ces dispositions, lorsqu'elles ne se trouvent pas absolument conformes à ces mêmes règles.

Cette manière de considérer la chose a plus de rapport aux besoins de la Navigation, & la rend en même temps incomparablement plus simple que si l'on entreprenoit de chercher des solutions directes & absolument complètes. Tous ces problèmes dépendent de la méthode de maximis ou de maximis maximorum: on ne pourroit les résoudre d'une manière absolue qu'en connoissant la relation qu'ont entr'elles toutes toutes les quantités variables qui y entrent: il faudroit, pour en trouver les simples expressions, se livrer à un calcul très-pénible. Mais ce n'est pas la même chose lorsqu'on se renferme dans les limites que nous venons de marquer; car dans ce second cas la pluspart des quantités qu'on aura intérêt de connoître, pourront être fournies par des mesures actuelles: c'est ce qu'on va voir dans les recherches suivantes.

I.

Qu'on peut toûjours réduire les voiles à deux, lorsqu'il y en a plusieurs les unes devant les autres.

Nous remarquerons d'abord crue les voiles, quel qu'en soin le nombre, peuvent toûjours par la pensée se réduire à deux dans toutes les recherches de manœuvre. Si nous, supposons que le navire dont A est la proue & B la pouppe, Fig. 1. ait trois voiles parallèles CD, EF, GH, que nous représentons par trois plans, & qu'elles soient frappées par le vent selon une infinité de lignes parallèles aux directions IK, LM, il n'y aura qu'une partie des deux voiles EF & GH qui sera frappée par le vent, pendant que la voile DC de la pouppe offrira seule sa surface entière à l'impulsion; mais la grandeur de l'impulsion totale sera toûjours exactement la même, toit qu'on diminue la largeur de la voile EF du milieu, soit qu'on l'augmente jusqu'à rendre la voile HG absolument inutile. On pourroit même, dans le cas représenté par notre figure, supprimer entièrement cette voile intermédiaire; car la perte qu'on seroit de l'impulsion sur sa partie EK, seroit exactement réparée par la partie plus large de la voile GH qui seroit ensuite frappée par le vent. Supposé même due l'obliquité du choc fût encore plus grande, la réduction des trois voiles à deux seroit encore permise; il suffiroit d'attribuer une plus grande largeur à la voile GH par l'extrémité H, pour suppléer à tout ce qu'on perdroit par la suppression de la voile EF.

On peut non seulement réduire par la pensée toutes les Fig. 1. voiles à deux, on peut aussi supposer que ces deux voiles sont exactement de même largeur. Tout ce qu'on, ôte par la pensée, ou réellement, à la largeur de la voile GH de la proue du côté de G, on n'a qu'à l'ajoûter à la voile DC du côté de D. Rien n'empêche non plus de changer la largeur de la voile DC du côté de C, sans faire aucun autre changement. Si on rend l'impulsion du vent plus ou moins grande sur cette voile, on procure un effet contraire sur l'impulsion que reçoivent les voiles de la proue; & l'impulsion totale, quoique distribuée différemment, sera toûjours exactement de la même grandeur, pourvu qu'on se soit renfermé dans certaines limites très-faciles à distinguer lorsqu'on fait le changement.

Les mâts du même vaisseau ont des hauteurs différentes, celui du milieu est toûjours plus haut; ainsi les voiles du milieu ont une certaine partie qui n'est jamais couverte par les autres voiles situées plus vers la pouppe. Mais nous pouvous substituer encore par la pensée à ces voiles de différentes hauteurs, d'autres voiles d'une hauteur parfaitement égale: nous n'avons qu'à supprimer la partie excédante sur la hauteur & en ajoûter l'étendue ou à la première voile CD, ou à la dernière GH sur la largeur, en observant de faire cette addition vers l'extrémité D de la voile de la pouppe, ou vers l'extrémité G de la voile de la proue. L'impulsion, quant à sa quantité, sera toûjours précisément la même, comme il est évident; & il suffira de faire cette opération une fois pour toutes, c'est-à-dire, de chercher les dimensions des voiles fictices rectangulaires de même hauteur, qui seroient équivalentes aux voiles réelles de hauteurs inégales.

Enfin si une voile n'est pas par-tout de même largeur, si elle est triangulaire, ou en général si ses côtés dans le sens vertical ne sont pas exactement à plomb, on prendra entre toutes les largeurs une largeur moyenne qui conservera à la voile sa même étendue: il est vrai que dans toutes ces transformations la direction de l'impulsion cessera d'être la même. La multiplicité des voiles ou des mâts sert principalement à faire en sorte que la direction de l'effort du vent réponde en Fig. 1. différens endroits de la longueur du navire; mais il faut remarquer qu'il ne s'agit dans les recherches présentes que de la grandeur de l'impulsion, sans qu'il soit nécessaire d'avoir égard au point du vaisseau auquel répond sa direction. Outre cela, la réduction que nous faisons des voiles à deux n'est ici que mentale, comme nous l'avons déjà dit, & elle n'a pour objet que la facilité des règles.

II.

L'angle des voiles avec la quille étant donné, reconnoître si l'obliquité avec laquelle on prend le vent rend la vîtesse du sillage la plus grande qu'il est possible.

Ces choses étant supposées, nous nous proposerons le problème le plus simple qui se présente sur cette matière. Les voiles sont déjà orientées par rapport au navire, & il s'agit de reconnoître si elles ont, de même que le navire, la disposition la plus convenable par rapport au vent, pour rendre le sillage rapide. Ce problème n'a d'application que dans un cas très-particulier; mais, comme on le verra dans la suite, il est de ceux qu'il faut absolument résoudre, si on veut faire de la manœuvre des vaisseaux un art complet.

Soit donc AB le navire dont A est l'extrémité de la Fig. 2. proue, & B celle de la pouppe; les deux voiles ED & GF sont parallèles, elles sont exactement de même hauteur & de même largeur, au moins du côté du navire qui est vers le vent, c'est-à-dire que leurs parties CD & ZF, depuis la ligne BA, sont exactement égales. Comme elles ont une situation oblique par rapport à la quille, le navire aura de la dérive, c'est-à-dire qu'au lieu de suivre la direction de son axe, il embrassera la route CI qui fait avec la quille un angle ACI, dont la grandeur dépend de la situation des voiles qui est donnée par rapport à la quille.

La ligne CI marque la vîtesse du sillage ou le chemin que parcourt le navire, & CM ést la vîtesse & la direction du vent, c'est-à-dire que pendant que le navire passe de C Fig. 2. en l, les particules d'air qui l'environnoient en C parcourent la ligne CM; ainsi cette ligne représente la vîtesse & la direction absolues du vent: nous disons absolues, car le navire parcourant CI en même temps que le vent parcourt CM, les particules d'air ne s'éloignent du navire que de la quantité IM, & elles ne s'en éloignent que selon cette ligne. Il suit de là que le vent ne paroît suivre que la ligne IM & avoir la vîtesse IM pour le Navigateur qui est transporté par le navire: nous tirons donc par le point D la ligne DK parallèlement à cette direction relative IM, & le point K sera l'extrémité de la partie FK que le vent frappe, de la voile de la proue.

Nous désignons après cela par f la distance perpendiculaire DH du PF d'une voile à l'autre; b marquera la largeur ou l'étendue des voiles qui seroit frappée par un vent perpendiculaire aux voiles, c'est-à-dire que b désignera ED + FH ou EP. Nous nommerons l la partie HK qui est frappée de plus; à cause de l'obliquité du vent, de sorte que b + l désignera toute l'étendue frappée ED + FK. Nous nommerons en même temps a le sinus total, θ la tangente de l'angle CMI que sont entr'elles les deux directions du vent, l'absolue CM & la relative ou apparente IM; p sera le sinus de l'angle d'incidence relatif DKH, & enfin nous nommerons u la vîtesse, CI du navire, & v la vîtesse apparente du vent. Nous aurons bp²v² + lp²v² pour l'impulsion totale du vent, conformément aux principes reçûs sur l'action des fluides. Nous multiplions l'étendue des voiles b + l, par le carré du sinus d'incidence relatif; mais, ce qui rend notre expression exacte, comme nous l'ayons montré dans * Page 431. le Traité du Navire*, nous employons en même temps la vîtesse apparente du vent, que nous élevons au carré.

Cette impulsion bp²v² + lp²v² du vent doit étre égale à l'impulsion de l'eau sur la proue, puisque le navire est censé se mouvoir d'un mouvement uniforme. Si nous désignons donc par i l'impulsion de l'eau sur la proue, en tant qu'elle est dépendante de la forme du vaisseau, nous aurons iu² pour l'expression complète de l'impulsion de l'eau, Fig. 2. ce qui nous donnera l'équation générale bp²v² + lp²v² = iu², dans laquelle les seules quantités b & i sont constantes: la quantité b = EH + FH, parce que les voiles faisant un angle constant avec la quille, la partie HF ne souffre aucun changement; & la quantité i est aussi invariable, parce que l'obliquité des voiles étant toûjours la même, la carène présente au choc de l'eau toûjours les mêmes parties, & les parties sont toûjours frappées avec la même incidence.

Quant à la vîtesse u dit navire, elle est variable; mais comme nous cherchons le cas qui la rend la plus grande, sa différentielle se trouvera égale à zéro, & nous aurons 2bp²vdv + 2bv²pdp + 2lp²vdv + 2lv²pdp + p²v²dl = 0, qui se réduit par la division à 2bpdv + 2bvdp + 2lpdv + 2lvdp + pvdl = 0. Ainsi il ne nous reste qu'à remplir les conditions exprimées par cette formule ou équation différentielle, pour résoudre le problème proposé.

Il s'agit d'abord de trouver la relation qu'ont entr'elles les différentielles dp, dv & dl; les exprimant les unes par les autres, nous les bannirons de notre formule. Il fait supposer pour cela, que le navire prenne deux différentes dispositions par rapport au vent; mais parce que les différentes situations du vaisseau rendroient notre figure trop consuse, nous feindrons que c'est la direction absolue CM du vent qui change du petit angle MCm, la vîtesse absolue Cm étant toûjours exactement la même ou égale à CM. La vîtesse apparente v du vent sera Im, & elle'aura augmenté par rapport à IM, de Om = dv, pendant que la différentielle de la vîtesse CI du navire sera nulle, puisque cette vîtesse doit étre un maximum. On voit aussi que la direction Dk doit être parallèle à Im, de même que DK étoit parallèle à IM; ainsi le petit espace Kk sera la différentielle, dl de la partie HL que le vent frappe de plus, à cause de son obliquité.

Quant à l'anglé d'incidence du vent, il sera plus petit après le changement que nous venons de feindre: nous Fig. 2. trouverons d'abord la valeur de son sinus p par cette analogie; DK [= √(DH² + HK²)]= √(f² + l²) est au sinus total a, comme DH = f est au sinus p de l'angle DKH. Nous aurons donc $p=\frac{\mathrm{af}}{\sqrt{(f^2+l^2)}}$; & si nous différentions, il nous viendra $\mathrm{dp}=-\frac{\mathrm{afldl}}{{(f^2+l^2)}^{½}}$, ce qui nous met en état de trouver de combien diminue l'angle même DKH. Le sinus p de cet angle recevant la petite diminution dp, l'angle ou l'arc qui le mesure diminue, comme on le fait, de $\frac{\mathrm{adp}}{\sqrt{(a^2-p^2)}}$ & cette expression se change, par la substitution, en $\frac{\mathrm{afdl}}{f^2+l^2}$: nous avons donc la valeur du petit angle KDk qui est égal à la différence des deux angles d'incidence. Ce même angle est égal à MIO; ainsi nous pouvons faire cette proportion, a est à $\frac{\mathrm{afdl}}{f^2+l^2}$, petit arc qui mesure l'angle KDk, comme IM = v est au petit arc $\mathrm{MO}=\frac{\mathrm{fvdl}}{f^2+l^2}$; & si on se souvient que nous avons nommé θ la tangente de l'angle IMC, & que nous considérions que cet angle est égal à celui mMO du petit triangle rectangle mOM, nous aurons cette analogie; le sinus total a est à $\mathrm{OM}=\frac{\mathrm{fvdl}}{f^2+l^2}$, comme la tangente θ de l'angle mMO est à $\mathrm{OM}=\mathrm{dv}=\frac{\mathrm{f\theta vdl}}{a(f^2+l^2)}$.

Rien ne nous empêche maintenant d'exclurre de notre équation générale 2bpdv + 2bvdp + 2lpdv + 2lvdp + pvdl = 0, les quantités p, dp & dv, en introduisant à leur place leurs valeurs $\frac{\mathrm{af}}{\sqrt{(f^2+l^2)}}$, $-\frac{\mathrm{afldl}}{{(f^2+l^2)}^{½}}$ & $\frac{\mathrm{f\theta vdl}}{a(f^2+l^2)}$: cette équation cessera ensuite d'être différentielle, si nous la divisions par dl; il nous viendra Fig. 2. $\frac{2\mathrm{bf}}{\sqrt{(f^2+l^2)}}\times \frac{\mathrm{f\theta v}}{f^2+l^2}-\frac{2\mathrm{abflv}}{{(f^2+l^2)}^{½}}+\frac{2\mathrm{lf}}{\sqrt{(f^2+l^2)}}\times \frac{\mathrm{f\theta v}}{f^2+l^2}-\frac{2\mathrm{af}{l}^{2}v}{{(f^2+l^2)}^{½}}+\frac{\mathrm{afv}}{\sqrt{(f^2+l^2)}}=0$, que nous réduisons, en transposant & en multipliant par $\frac{{(f^2+l^2)}^{½}}{\mathrm{afv}}$ â l'équation $l^2-\frac{2\mathrm{f\theta l}}{a}+2\mathrm{bl}=f^2+\frac{2\mathrm{bf\theta }}{a}$.

On peut traiter cette dernière comme si elle étoit du deuxième degré, & nous trouverons $l+b=\frac{\mathrm{f\theta }}{a}+\sqrt{(f^2+b^2+\frac{f^2{\theta }^2}{a^2})}$ dont il suffit d'ôter la largeur ED de la voile de la pouppe, pour avoir celle qu'a la partie frappée FK de la voile de la proue, lorsque l'impulsion du vent est la plus grande qu'il est possible, ou lorsque le navire prend la plus grande vîtesse.

Cette même formule peut se réduire à une construction très-simple, par le moyen de laquelle il sera toûjours très-facile en mer de reconnoitre si l'on prend le vent assez de côté, ou si on le reçoit trop obliquement. La vîtesse CI du navire est connue par les moyens que fournit l'art du Pilote: il n'est pas difficile non plus de mesurer la vîtesse apparente IM du vent, & les girouettes du vaisseau indiquent la direction selon laquelle le vent a cette vîtesse. Ainsi il suffit de résoudre le triangle obliquangle CIM, pour avoir l'angle IMC que fait la direction réelle du vent avec la direction apparente. Cet angle ne sera jamais de plus de 18 à 20 degrés, & on l'aura toûjours affez exactement en résolvant, même d'une manière grossière, le triangle. Nous avons nommé θ la tangente de cet angle, en prenant a pour sinus total, & si nous transportons cet angle par la pensée en HDS à côté de DH, nous aurons HS pour la valeur de $\frac{\mathrm{f\theta }}{a}$ dont nous aurons presqu'aussi aisément la mesure actuelle que celle de DH = f & celle de b = ED + HF.

Cela supposé, nous n'avons qu'à tirer la ligne EF qui Fig. 2. serve de plus grande diagonale au parallélogramme ou au trapèz que forment les deux voiles parallèles. Cette diagonale sera égale à √(b² + f²), puisqu'elle est l'hypoténuse du triangle rectangle EPF dont le côté EP = ED + HF = b, & l'autre PF = f. Nous éleverons à l'extrémité F de cette diagonale la perpendiculaire FQ que nous rendrons, égale à $\mathrm{HS}=\frac{\mathrm{f\theta }}{a}$, & si nous tirons la ligne EQ, nous aurons la valeur de $\sqrt{(b^2+f^2+\frac{f^2{\theta }^2}{a^2})}$, & y ajoûtant QR égale à FQ ou à HS, la ligne totale ER sera $\frac{\mathrm{f\theta }}{a}+\sqrt{(b^2+f^2+\frac{f^2{\theta }^2}{a^2})}$, valeur de l + b; & elle nous marquera par conséquent avec la largeur ED de la voile de la pouppe, celle de la partie FK de la voile de la proue, qui doit être exposée à l'impulsion. Il n'y aura donc, du point E comme centre, qu'à décrire l'arc DT, & la ligne TR nous apprendra la grandeur qu'il faut donner à FK, c'est-à-dire que l'égalité entre FK & TR sera le criterium de la disposition la plus avantageuse du navire par rapport au vent.

Si le vent avoit une vîtesse comme infinie par rapport â celle du vaisseau, ce qu'on peut supposer dans certains cas, l'angle M sera comme infiniment petit; la tangente θ & $\mathrm{HS}=\frac{\mathrm{f\theta }}{a}$ seront nulles, de même que FQ & QR, & il suffira alors, pour avoir la largeur FK, d'examier combien la diagonale EF est plus grande que la largeur ED de la voile de la pouppe. Lorsque l'angle que sont les deux directions du vent, la réelle & l'apparente, est d'une certaine grandeur, HS ne sera pas nulle, mais EQ ne sera jamais sénsiblement plus longue que la diagonale EF; il suffira donc d'ajouter QR = HS à l'excès de la diagonale sur ET, pour avoir la largeur de la voile de l'avant qui doit être soûmise à l'impulsion.

Il n'y a pas d'apparence qu'on puisse trouver une autre Fig. 3. pratique plus simple: on exécutera cette construction sur une figure, lorsqu'on voudra parvenir à une détermination exacte, & dans les autres cas on en retirera encore de l'avantage; lorsqu'on la suivra grossièrement à vûe d'oeil sur les voiles mêmes, puisqu'elle fournira une règle dans une matière où on n'en avoit pas; mais nous ne devons pas manquer de faire observer qu'elle devient imparfaite lorsque les deux voiles sont trop voisines l'une de l'autre, ou lorsque f est trop petite. En effet, si on approchoit réciproquement assez les deux voiles pour qu'elles n'en formassent plus qu'une feule, les trois points D, H & K se confondroient, & notre construction deviendroit alors tout-à-fait inutile; elle ne nous apprendroit rien.

On ne peut faire cesser cette indétermination du problème qu'en cherchant quelqu'autre inconnue à la place de HK. Si nous nommons t la tangente de l'angle HDK que fait la direction apparente du vent avec DH, ou la cotangente de l'angle apparent d'incidence du vent, & que nous continuions à nommer f la ligne DH, nous aurons $\frac{\mathrm{ft}}{a}$ pour l'expression de HK que nous avons ci-devant nommée l; & si nous la substituons dans l'équation $l^2-\frac{2\mathrm{f\theta l}}{a}+2\mathrm{bl}=f^2+\frac{2\mathrm{bf\theta }}{a}$, nous la changerons en $t^2-2\mathrm{\theta t}+\frac{2\mathrm{abt}}{f}=a^2+\frac{2\mathrm{ab\theta }}{f}$, dont nous déduirons $t=\theta -\frac{\mathrm{ab}}{f}+\sqrt{(a^2+{\theta }^2+\frac{a^2{b}^2}{f^2}}$, qui nous donne d'une manière très-simple la tangente t du complément de l'incidence apparente du vent. On peut même prendre par approximation la racine de la quantité qui est sous le signe radical, & on aura, à très-peu près, $t=\theta +\frac{\mathrm{af}}{2b}+\frac{f{\theta }^2}{2\mathrm{ab}}$, ou encore $t=\theta +\frac{\mathrm{af}}{2b}$.

Dans le cas où le navire n'a qu'une seule voile, la distance f ou DH disparoît, & on a t = θ, ce qui est parfaitement Fig. 3. conforme à notre dernière équation ou formule transformée $t^2-2\mathrm{\theta t}+\frac{2\mathrm{abt}}{f}=a^2+\frac{2\mathrm{ab\theta }}{f}$, qui se réduit aux deux simples termes $\frac{2\mathrm{abt}}{f}=\frac{2\mathrm{ab\theta }}{f}$, lorsqu'on rend f infiniment petite. Ainsi nous voyons qu'il faut alors que la tangente t du complément de l'incidence apparente du vent, soit exactement égale à la tangente θ de l'angle que sont entr'elles les deux directions; & il suit de-là que la direction absolue du vent doit être perpendiculaire à la voile. Cette disposition particulière nous est représentée par la figure 3: la vîtesse du sillage est CI; la ligne IM est la vîtesse & la direction apparente du vent; DK est parallèle à IM, & ces directions apparentes du vent sont, avec la perpendiculaire DH à la voile, un angle dont la tangente est t: mais puisque cet angle est égal à l'angle M, dont θ est la tangente, la direction réelle VM du vent est parallèle à DH & perpendiculaire à la voile. C'est ce que nous avions déjà fait voir, mais d'une manière très-différente, dans le Traité du Navire, en montrant que quoique la vîtesse du sillage rende plus compliquées presque toutes les règles de la manœuvre des vaisseaux, les vîtesses du sillage sont toûjours néanmoins proportionnelles aux sinus réels d'incidence du vent sur la voile, lorsque les autres circonstances sont absolument les mêmes & lorsqu'il n'y a qu'une seule voile. Il suit de-là, qu'en augmentant l'angle réel d'incidence, on augmente la rapidité du sillage, & qu'il faut le rendre droit pour que le sillage devienne le plus grand qu'il est possible; mais on ne sauroit trop remarquer qu'il s'agit ici de l'angle réel d'incidence & non pas de l'apparent. Il est fâcheux pour le Manœuvrier que cet angle droit ne doive être formé que par la direction réelle du vent, qui n'est pas sensible, & qu'on ne peut connoître que par la résolution du triangle CIM.

Il ne nous reste plus qu'à observer, touchant les constructions précédentes, qu'elles n'ont d'application que dans un cas très-rare, ou plustôt unique, dont nous parlerons dans l'article IV; c'est lorsqu'en voulant courir avec la plus grande vîtesse possible, il n'importe sur quelle direction l'on marche. Fig. 3. Nos lecteurs sont sans doute prévenus que ce n'est pas la route directe qui donne toûjours le plus de rapidité au sillage. Nous venons de déterminer l'obliquité du vent par rapport aux voiles; mais il faut encore savoir alors si l'on donne aux voiles la disposition la plus convenable par rapport au navire. Ce problème, considéré dans toute son étendue, appartient à la méthode de maximis maximorum, & on doit en déterminer le premier maximum à part, comme nous venons de faire, parce qu'il ne dépend pas du second.

Le problème est tout différent lorsque la direction de la route est donnée; car on ne peut prendre le vent plus ou moins obliquement, sans se trouver obligé de changer en même temps la situation des voiles par rapport au navire, afin que le vent fasse toûjours le même angle avec la route qui est prescrite. Ainsi, généralement parlant, pour trouver dans cet autre cas un plus grand avantage dans la disposition des voiles par rapport au navire, il faut se désister du maximum dont nous venons de chercher les conditions. On n'y est pas obligé, lorsque l'angle VCI formé par la direction réelle du vent & par la route du navire, n'est pas donné, ou lorsqu'il s'agit simplement de rendre CI un maximum, en faisant abstraction de la direction sur laquelle on marche: il faut alors que l'angle réel d'incidence soit droit, si le navire n'a qu'une seule voile. Ce ne sera plus la même chose si l'angle VCI est donné, puisqu'en diminuant très-peu l'angle réel d'incidence, la voile sera poussée sensiblement avec la même force; mais l'angle VCF étant un peu aigu, l'angle FCI deviendra plus grand, le navire recevra un plus grand mouvement selon sa quille, & il pourra arriver qu'on gagne davantage de ce côté qu'on ne perd de l'autre.

III.

Lorsque le navire suit une route dont la direction est donnée, trouver les conditions dont dépend la plus grande vîtesse du sillage

C'est ce problème, dont l'usage est presque continuel, que Fig. 4. nous allons maintenant résoudre. Soit AB un navire dont A soit la proue & B la pouppe; CI est la route qui fait, avec la direction absolue ou réelle du vent, un angle donné; VCM est cette direction du vent, & IM est la direction apparente. Pour trouver les conditions de la disposition la plus avantageuse du navire par rapport au vent, il faut que nous considérions le navire dans deux situations différentes, infiniment voisines l'une de l'autre; mais au lieu de cela, nous attribuerons, comme ci-devant, deux directions différentes au vent, savoir, VM & vm. Nous donnerons aussi deux situations différentes aux voiles; nous les supposerons situées en de & fg, après les avoir considérées en DE & FG. Chacune de ces situations procurera une route CI ou Ci, qui sera un angle différent avec la quille du navire; mais l'angle infiniment petit ICi, que sont entre elles ces deux routes, doit être égal à l'angle infiniment petit que sont les deux directions absolues CM & Cm du vent. Dans la réalité, la direction absolue du vent n'a pas changé, & la route du navire tombe aussi sur la même ligne CI; c'est le navire qui a changé de situation, puisque l'angle du vent & de la route est donné. Nous devons remarquer, outre cela, que les deux dispositions du vaisseau étant censées également avantageuses, les vîtesses CI & Ci du sillage sont égales; & il suit de-là que les vîtesses apparentes du vent IM & Im sont aussi égales, c'est-à-dire, que les deux triangles CIM & Cim sont parfaitement égaux, mais seulement situés un peu différemment: DK est parallèle à IM, & retranche sur la voile de la proue, la partie FK frappée par le vent: de même dk est parallèle à im, & on a fk pour la partie de la voile de la proue, frappée par le vent dans la seconde disposition.

Nous nommerons, comme ci-devant, v la vîtesse appàrente du vent, & u la vîtesse du navire; nous désignerons l'impulsion de l'eau sur la proue par la lettre i, en faisant abstraction de la vîtesse du navire; nous continuerons à marquer le sinus total par la lettre a; nous marquerons par q le cosinus de l'angle que sont les voiles avec la quille, c'est-à-dire que si la droite CO est perpendiculaire à la surface de la voile DE, nous aurons q pour le sinus de l'angle ACO; nous désignerons Fig. 4. par b la largeur DE de cette même voile, & par c la distance CZ d'un mât à l'autre: cette distance est égale à celle DF qu'il y a entre les extrémités D & F des voiles, parce que nous supposons les deux parties CD & ZF égales, ce qui nous est toûjours permis. Enfin t désignera la tangente de l'angle apparent d'incidence du vent sur les voiles, c'est-à-dire, la tangente de l'angle DKF, & nous aurons donc $\frac{\mathrm{at}}{\sqrt{(a^2+t^2)}}$ pour son sinus.

Toutes ces choses étant supposées, nous abaissons du point D la perpendiculaire DH sur l'autre voile FG, & nous aurons dans le triangle rectangle DHF, le côté $\mathrm{HF}=\frac{\mathrm{cq}}{a}$ & $\mathrm{DH}=\frac{c\sqrt{a^2-q^2}}{a}$ puisque l'hypoténuse DF est égale à CZ = c, & que l'angle FDH est égal à l'angle ACO, dont g est le sinus. Ayant DH, nous trouverons HK par cette analogie: la tangente t de l'angle DKH est à $\mathrm{DH}=\frac{c\sqrt{a^2-q^2}}{a}$, comme le sinus total a est à $\mathrm{HK}=\frac{c\sqrt{a^2-q^2}}{t}$. Ainsi nous aurons, pour la, surface totale des voiles frappées par le vent, ou pour leur largeur ED + FK, l'expression $b+\frac{\mathrm{cq}}{a}+\frac{c\sqrt{a^2-q^2}}{t}$ qu'il ne nous reste plus qu'à multiplier par le carré de la vîtesse apparente v du vent, & par le carré du sinus d'incidence aussi apparent $\frac{\mathrm{at}}{\sqrt{(a^2+t^2)}}$ pour avoir l'impulsion $(\frac{a^{2}b{t}^2}{a^2+t^2}+\frac{\mathrm{acq}{t}^2}{a^2+t^2}+\frac{a^2\mathrm{ct}\sqrt{\left(a^{2-q^2}\right)}}{a^2+t^2})v^2$. Cette impulsion du vent doit être égale à celle iu² de l'eau sur la proue, ce qui nous donne l'équation $\frac{a^{2}b{t}^2}{a^2+t^2}+\frac{\mathrm{acq}{t}^2}{a^2+t^2}+\frac{a^2\mathrm{ct}\sqrt{\left(a^{2-q^2}\right)}}{a^2+t^2}=i\times \frac{u^2}{v^2}$, dans laquelle il y a trois variables t, g & i; les quantités t & q, parce que l'angle apparent d'incidence Fig. 4. du vent n'est pas, le même, non plus que l'angle que sont les voiles avec la quille, dans les deux dispositions que représente notre figure; & outre cela, la quantité i est variable, parce que l'angle de la dérive étant plus ou moins grand, la proue ou la carène est frappée par l'eau avec une incidence différente.

Nous différentions, il nous vient $\frac{2a^2\mathrm{btdt}}{a^2+t^2}-\frac{2a^{2}b{t}^3\mathrm{dt}}{{(a^2+t^2)}^2}+\frac{\mathrm{ac}{t}^2\mathrm{dq}}{a^2+t^2}+\frac{2\mathrm{acqtdt}}{a^2+t^2}-\frac{2\mathrm{acq}{t}^3\mathrm{dt}}{{(a^2+t^2)}^2}+\frac{a^2\mathrm{cdt}\sqrt{(a^2-q^2)}}{a^2+t^2}-\frac{a^2\mathrm{ctqdq}}{(a^2+t^2)\sqrt{(a^2-q^2)}}-\frac{2a^{2}c{t}^2\mathrm{dt}\sqrt{(a^2-q^2)}}{{(a^2+t^2)}^2}=\mathrm{di}\times \frac{u^2}{v^2}$, & nous divisons chaque membre de cette équation différentielle par chaque membre correspondant de la première équation, ce qui nous donne la même chose que si nous avions différentié logarithmiquement, & ce qui fait évanouir le rapport $\frac{u^2}{v^2}$. Nous trouvons $\frac{a^3\mathrm{cdt}\sqrt{(a^2-q^2)}+(2a^{3b}+2a^2\mathrm{cq})\times \mathrm{tdt}-\mathrm{ac}{t}^2\mathrm{dt}\sqrt{(a^2-q^2)}+(a^{2}c{t}^2+c{t}^4)\times \mathrm{dq}-(a^3\mathrm{ct}-\mathrm{ac}{t}^3)\times \frac{\mathrm{qdq}}{\sqrt{(a^2-q^2)}}}{a^3\mathrm{ct}\sqrt{(a^2-q^2)}+(a^{3}b+a^2\mathrm{cq})\times t^2+\mathrm{ac}{t}^3\sqrt{(a^2-q^2)}+(\mathrm{ab}+\mathrm{cq})\times t^4}=\frac{\mathrm{di}}{i}$ équation qui renferme toutes les conditions dont dépend la solution du problème dont nous nous occupons.

Il n'est plus question que de chercher la relation qu'ont entr'elles les différentielles qui entrent dans cette équation. L'impulsion i dépend de l'angle ACI de la dérive, ou de l'obliquité avec laquelle l'eau frappe la proue; & d'un autre côté, l'angle de la dérive ACI dépend de la situation des voiles par rapport à la quille & du cosinus q de l'angle ACD. Ainsi, en examinant la figure du navire, & en se servant des formules que nous avons pour trouver l'impulsion des fluides sur les surfaces courbes, il nous sera toûjours possible de découvrir, au moins par approximation, le rapport de $\frac{\mathrm{di}}{i}$ à $\frac{\mathrm{dq}}{q}$. Je suppose que h soit l'exposant de ce rapport, & qu'on ait $\frac{\mathrm{di}}{i}=\frac{\mathrm{hdq}}{q}$.

Fig. 4.

Le petit angle OCo répond à l'augmentation, dq, reçûe par le sinus q de l'angle ACO; ainsi l'arc qui le mesure, est $\frac{\mathrm{adq}}{\sqrt{(a^2-q^2)}}$. Mais puisque l'angle ACI de la dérive dépend de l'angle ACO, l'angle infiniment petit ICi en dépend aussi, & il doit être plus petit que l'angle OCo un certain nombre de fois que je désigne par k. Le petit angle ICi est donc $\frac{\mathrm{adq}}{k\sqrt{(a^2-q^2)}}$, & il ne doit pas nous coûter davantage de déterminer k que de déterminer h. Cela supposé, il nous est très-facile de trouver la variation de l'angle apparent d'incidence du vent dans les deux différentes dispositions. La tangente de cet angle étant t, la différentielle de l'angle même, ou plustôt de l'arc qui le mesure, sera $\frac{a^2\mathrm{dt}}{a^2+t^2}$, & elle est égale à l'excès du petit angle OCo sur le petit angle ICi, c'est-à-dire qu'elle est égale $\frac{\mathrm{adq}}{\sqrt{(a^2-q^2)}}-\frac{\mathrm{adq}}{k\sqrt{(a^2-q^2)}}$, & que nous avons $\frac{a^2\mathrm{dt}}{a^2+t^2}=\frac{k-1}{k}\times \frac{\mathrm{adq}}{\sqrt{(a^2-q^2)}}$. La raison en est bien évidente; l'angle apparent d'incidence dkf est augmenté d'un côté de tout le petit angle FZf, & ce dernier angle est égal à l'angle OCo qui a $\frac{\mathrm{adq}}{\sqrt{(a^2-q^2)}}$ pour mesure; mais ce même angle d'incidence est diminué de l'autre côté en même temps, parce que dk n'est pas parallèle à DK, & que ces deux directions sont entr'elles le même angle que IM & im, ou que CI & Ci. Or l'angle ICi est $\frac{\mathrm{adq}}{k\sqrt{(a^2-q^2)}}$, & si on l'ôte de OCo, il restera l'accroissement réel de l'angle, apparent d'incidence DKF. Nous aurons donc $\frac{a^2\mathrm{dt}}{a^2+t^2}=\frac{k-1}{k}\times \frac{\mathrm{adq}}{\sqrt{a^2-q^2}}$ & $\mathrm{dt}=\frac{k-1}{k}\times \frac{(a^2+t^2)\mathrm{dq}}{a\sqrt{(a^2-q^2)}}$.

Nous pouvons maintenant chasser de notre équation générale les différentielles qui l'embarrassoient; nous mettrons $\frac{\mathrm{hdq}}{q}$ à la place de $\frac{\mathrm{di}}{i}$, & $\frac{k-1}{k}\times \frac{\mathrm{dq}(a^2+t^2)}{a\sqrt{(a^2-q^2)}}$ à la place de dt, & nous aurons $\frac{\frac{k-1}{k}\times a^{2}c(+\frac{2k-2}{k}\times \frac{a^{2}b}{\sqrt{(a^2-q^2)}}+\frac{k-2}{k}\times \frac{\mathrm{acq}}{\sqrt{(a^2-q^2)}})t+\frac{1}{k}c{t}^2}{\mathrm{act}\sqrt{(a^2-q^2)}(+\mathrm{ab}+\mathrm{cq})t^2}=\frac{h}{q}$ qui étant ordonnée par rapport à t, nous donne $\frac{t^{\text{2}}\left(\begin{array}{c}+(2k-2)\times \frac{a^{2}b}{\sqrt{(a^2-q^2)}}\\ +(k-2)\times \frac{\mathrm{acq}}{\sqrt{(a^2-q^2)}}\\ -\frac{\mathrm{khac}\sqrt{(a^2-q^2)}}{q}\end{array}\right)}{(t-\mathrm{kh})\times c-\frac{\mathrm{khab}}{q}}t=\frac{(1-k)\times a^{2}c}{(1-\mathrm{kh})\times c-\frac{\mathrm{khab}}{q}}$

Ainsi nous avons d'une manière générale & en termes finis, sa relation qu'il y a entre l'angle apparent d'incidence du vent, dont t est la tangente, & l'angle que sont les voiles avec la quille, dont q est le cosinus, lorsqu'en suivant une route prescrite on marche le plus vîte qu'il est possible.

On voit que le problème est toûjours du second degré dans le sens que nous nous le sommes proposé. L'équation précédente nous fournit la formule générale,
$t=\frac{(1-k)\times \frac{\mathrm{abq}}{\sqrt{(a^2-q^2)}}+(1-½k)\times \frac{c{q}^w}{\sqrt{(a^2-q^2)}}+½\mathrm{khc}\sqrt{(a^2-q^2)}+\sqrt{{[(1-k)\times \frac{\mathrm{abq}}{\sqrt{(a^2-q^2)}}+(1-\mathrm{½}k)\times \frac{c{q}^2}{\sqrt{(a^2-q^2)}}]}^2+\frac{1}{4}{k}^2{h}^2{a}^2{c}^2+[(1-k)+½k^{2}h-\frac{1}{4}{k}^2{h}^2]\times c^2{q}^2}}{(1-\mathrm{kh})\times \frac{\mathrm{cq}}{a}-\mathrm{khb}}$

Il est vrai que cette formule nous engagera dans des calculs qui seront souvent trop longs pour qu'on puisse les réduire à des pratiques graphiques dont l'exécution soit facile; mais outre qu'il se présente divers moyens d'en diminuer le travail, nous sommer au moins en état de former des tables auxquelles il suffira que les Navigateurs aient continuellement recours. Pour savoir en mer si le navire & les voiles sont dans la disposition la plus avantageuse pour marcher avec vîtesse sur la route qu'on suit, on mesureroit l'angle que sont les Fig. 4. les voiles avec la quille & l'angle apparent d'incidence du vent, & on verroit ensuite dans la Table si ces deux angles ont l'un à l'égard de l'autre la grandeur convenable.

Nous n'insistons pas sur les moyens de trouver les valeurs de k & de h qui entrent dans notre formule, il nous suffit dé remarquer que lorsqu'on se propose de construire une Table qui contienne les angles d'incidence du vent pour tous les divers angles des voiles & de la quille, il est aussi permis de regarder l'angle de dérive ICA comme connu, que l'angle OCA, & qu'on n'a toûjours alors qu'un calcul absolument direct à faire pour découvrir les valeurs de k & de h. L'eau frappant la carène selon la direction IC, nous avons des méthodes pour supputer la grandeur de l'impulsion, & nous pouvons chercher aisément de combien elle change. Lorsque le fluide, au lieu de frapper selon IC, suit une autre direction iC, l'impulsion dont il s'agit s'exerce selon une direction OC, qui change aussi par le changement de la ligne iC, selon la-quelle se fait le choc. Ces variations de directions & de forces pourroient donner ici lieu à plusieurs remarques, & nôus aurions différentes choses à proposer, soit pour donner aux calculs plus de généralité, soit pour les rendre plus faciles; mais ce seroit, pour ainsi dire, nous écarter de notre sujet: outre cela, nous nous sommes beaucoup occupés ailleurs de recherches qui avoient rapport à celles-ci, & nous pouvons y renvoyer *.

Applications du problème précédent à quelques exemples.

Nous ajoûterons néanmoins que si la proue étoit formée par un plan incliné en avant, ou par une surface qui fût seulement courbe de haut en bas, & que les deux flancs de la carène fussent aussi terminés par des surfaces courbes dans le sens vertical, sans être courbes dans le sens horizontal, on pourroit alors substituer à la figure du navire celle d'un parallélipipède rectangle. Cette dernière figure seroit rigoureusement équivalente aux autres dans les problèmes dont nous Fig 4. nous occupons, sans qu'il importât en rien que les surfaces courbes de la proue & des flancs sussent géométriques ou méchaniques: il faudroit rendre le parallélipipède rectangle fort étroit, non seulement parce que les navires sont beaucoup plus longs, que larges, mais encore parce que la forme de leur proue, en diminuant le choc de l'eau dans le sens direct de la quille, produit précisément le même effet que si la carène avoit encore moins de largeur. Mais supposé que a qui désigne le sinus total, désigne aussi la demi-longueur du navire, & que e désigne en même temps la moitié de la largeur de la figure fictice à laquelle nous le comparons, & que m soit la cotangente de l'angle des voiles & de la quille, ou la tangente de l'angle OCA, dont nous avons déjà indiqué le sinus par la lettre q, on aura alors $k=\frac{2a^2+2\mathrm{em}}{a^2+m^2}\sqrt{\frac{m}{e}}$ & $h=\frac{m^2-\mathrm{em}}{a^2+\mathrm{em}}$. Ainsi il ne reste qu'à introduire ces quantités dans notre formule générale, en substituant en même temps, si on le veut, m à la place de $\frac{\mathrm{aq}}{\sqrt{a^2-q^2}}$.

Si lé navire, quelle que soit sa figure, n'a qu'une voile, la distance C d'un mât à l'autre sera censée nulle, les deux voiles seront supposées se confondre par leur proximité, & notre formule générale se réduira à $t=\frac{2h-2}{\mathrm{kh}}\times \frac{\mathrm{aq}}{\sqrt{a^2-q^2}}$, parce qu'il faudra effacer tous les termes qui contiennent c. Dans ce cas particulier, le problème devient incomparablement plus simple, & c'est encore la même chose dans les routes très-obliques, quoique le navire ait plusieurs voiles. En effet, toutes les fois que les voiles approchent de faire un angle de quarante degrés avec la quille, celles de la pouppe ne nuisent plus à celles de la proue; la surface frappée par le vent cesse d'être variable, & les voiles sont alors absolument équivalentes à une seule qui sèroit beaucoup plus large. La petite formule $t=\frac{2h-2}{\mathrm{kh}}\times \frac{\mathrm{aq}}{\sqrt{a^2-q^2}}$ nous donnera donc alors pour tous les vaisseaux, l'angle apparent d'incidence du vent, qui est le Fig. 4. plus avantageux, & on déterminera cette formule à servir pour les navires dont nous parlions plus haut, en mettant à la place de k & h les valeurs que nous venons, d'indiquer.

Il y aura encore moins de difficulté, lorsqu'il sera permis de négliger la dérive, ou de considérer le navire comme s'il étoit infinimènt étroit. Un vaisseau est à peu près quatre fois plus long que large, mais la figure de sa proue produit le même effet que s'il étoit encore beaucoup moins large, conformément à ce que nous avons déjà dit. Or, si on suppose sa demi-largeur e = 0, la quantité $k=\frac{\frac{2a^2\sqrt{m}}{\sqrt{e}}+2m\sqrt{\left(\mathrm{me}\right)}}{a^2+m^2}$ que nous avons trouvée pour le navire en parallèlipipède rectangle, deviendra infinie en même temps qu'on aura $h=\frac{m^2}{a^2}=\frac{q^2}{a^2-q^2}$, & la petite formule $t=\frac{2k-2}{\mathrm{kh}}\times \frac{\mathrm{aq}}{\sqrt{(a^2-q^2)}}$ nous donnera alors $t=\frac{2a\sqrt{(a^2-q^2)}}{q}$ ou $t=\frac{2a^2}{m}$. Ainsi lorsque le navire n'a point de dérive, & qu'il n'est poussé que par une seule voile, ou lorsqu'il est poussé par plusieurs, mais qu'elles ne se nuisent pas, on a un criterium très-commode pour juger de la disposition la plus avantageuse du vent par rapport au navire & aux voiles: il faut que la tangente t de l'angle apparent d'incidence soit double de la tangente $\left(\frac{a\sqrt{(a^2-q^2)}}{q}\text{ou}\frac{a^2}{m}\right)$ de l'angle que fait la voile avec la quille; c'est ce que divers Auteurs avoient déjà trouvé.

Quoique le navire ait plusieurs voiles qui se couvrent en partie les unes les autres, on résout éncore le problème très-aisément, pourvû qu'on puisse négliger là dérive; ce qui doit être permis dans une infinité de cas. En introduisant k, rendue infinie, & $h=\frac{q^2}{a^2-q^2}$, dans l'équation du second degré dont nous avons tiré notre formule générale, on la réduira â $t^2-\frac{2a^{2}b\sqrt{(a^2-q^2)}}{\mathrm{abq}+c{q}^2}\times t=\frac{a^{2}c\times (a^2-q^2)}{\mathrm{abq}+c{q}^2}$.

Fig. 4.

Pour une plus grande facilité, nous nous proposerons à la place de t, quelques autre inconnue dont on puisse plus aisément vérifier la grandeur sur, le navire même. Si nous nous ressouvenons que $\mathrm{DH}=\frac{c\sqrt{(a^2-q^2)}}{a}$, & qu'après avoir nommé l la partie HK dé la voile de la proue due le vent frappe à cause de son obliquité, nous cherchions la valeur de t par rapport à l, nous aurons $t=\frac{c\sqrt{(a^2-q^2)}}{l}$; & si nous l'introduisons dans notre dernière équation du sécond degré, nous la changerons en $l^2+2\mathrm{bl}=\frac{\mathrm{bcq}}{a}+\frac{c^2{q}^2}{a^2}$; nous tirerons $l=-b+\sqrt{(b^2+\frac{\mathrm{bcq}}{a}+\frac{c^2{q}^2}{a^2})}$ ou $l=-b+\sqrt{[\mathrm{¾}{b}^2+{(\mathrm{½}b+\frac{\mathrm{cq}}{a})}^2]}$, qui nous fournira une pratique extrêmement simple pour trouver la largeur HK.

Fig. 4.

Ayant fait HR égale à DC = ½b, moitié de la voile de la pouppe, nous tirons la droite RCS, qui sera perpendiculaire aux deux voiles FG, DE, ou parallèle à DH; nous faisons ensuite i'hypoténuse HS du triangle rectangle HRS égale à la largeur entière DE = b; le côté SR sera égal à b √(¾); & si nous tirons du point S la ligne SF à l'extrémité F de a voile de la proue, cette ligne sera égale à $\sqrt{[\mathrm{¾}{b}^2+{(½b+\frac{\mathrm{cq}}{a})}^2]}=\sqrt{[{\mathrm{SR}}^2+{(\mathrm{RH}+\mathrm{HF})}^2]}$. Ainsi nous n'aurons qu'à retrancher de SF la partie ST égale à SH = b, & le reste TF sera égal à l ou à la partie HK, de la voile FG, que le vent dois découvrir au-delà de la perpendiculaire HD.

Lorsque les voiles seront situées presque perpendiculairement à la quille, la perpendiculaire DH tombera à très-peu de distance de l'extrémité F, & l'arc HT, qui a le point S pour centre, sera très-petit, & sera sensiblement une ligne droite, qui sera un angle de 30 degrés avec HF. Dans ce cas, TF sera sensiblement à moitié de HF; il faudra donc que la partie HK de la voile que le vent frappe, à Fig. 5. cause de son obliquité, soit alors la moitié de HF, pour que les voiles & le vaisseau aient la disposition. la plus avantageuse par rapport au vent. Mais lorsque HK est la moitié de HF, la tangente de l'angle apparent DKH d'incidence du vent est double de la tangente de l'angle que sont les voiles avec la quille, précisément de même que s'il n'y avoit qu'une seule voile. La chose sera différente lorsque HF sera une partie considérable de la largeur des voiles, car HK = TF sera alors plus grande que sa moitié de HF. L'angle apparent d'incidence du vent sera donc un peu plus petit que dans l'autre cas, ou, ce qui revient au même, sa tangente ne sera pas double de celle de l'angle AZF. Ainsi, généralement parlant, il faut, lorsqu'on veut faire une route dont la direction est donnée, orienter différemment les voiles, selon qu'on en emploie plusieurs ou qu'on n'en emploie qu'une seule.

Si le navire dont on peut négliger la dérive, n'a qu'une voile, ou s'il en a plusieurs & qu'elles ne se nuisent pas, la tangente de l'angle apparent d'incidence, nous le répétons, doit être double de la tangente de l'angle que sont les voiles avec la quille. Si au contraire les voiles se couvrent en partie, HK doit être plus grande que la moitié de HF, & la tangente de l'angle apparent d'incidence ne doit pas être double de la tangente de l'angle FZA, fait par les voiles & par la quille; elle doit être un peu moindre. Or ces différentes conditions exigent presque toûjours qu'on apporte quelque changement à la manière dont les voiles sont orientées, ou qu'on change leur obliquité par rapport à la quille. Si le navire marche d'abord avec deux voiles, & qu'apres en avoir serré une, la tangente de l'angle apparent d'incidence ne se trouve pas assez grande, on sera obligé, pour marcher le plus vîte qu'il est possible avec une seule voile, de diminuer l'angle qu'elle fait avec la quille. Il ne faudra pas prendre le vent plus en pouppe sans changer la disposition de la voile par rapport au navire, car on cesseroit de suivre la route dont la direction est prescrite; mais en diminuant peu à peu l'angle Fig. 5. FZA, sa tangente se trouvera moindre, & aussi-tôt qu'elle sera exactement égale à la moitié de la tangente de l'angle apparent d'incidence, & que la vîtesse du sillage sera déjà parvenue à l'uniformité, on sera sûr qu'on aura trouvé la disposition la plus avantageuse de la voile par rapport au navire & par rapport au vent.

IV.

Marquer les conditions dont dépend la plus grande vîtesse possible du sillage.

Enfin il s'agit quelquefois, non pas simplement de suivre une certaine route avec vîtesse, mais de marcher absolument le plus vîte qu'il est possible, en cherchant, entre toutes les directions, celle sur laquelle on peut aller le plus rapidement. On veut s'éloigner d'un certain endroit ou d'un certain point le plus vîte qu'il est possible, & on ne se met pas en peine de la direction qu'on doit suivre. Ce problème dépend des deux différens maximum que nous avons discutés dans ce Mémoire, & il suffit toûjours de les réunir pour satisfaire parfaitement à la question. Lorsqu'on peut négliger la dérive du navire, on n'a qu'à voir si les conditions exprimées dans les figures 2 & 5 sont exactement remplies: la partie HK doit être exactement égale à TF dans la dernière de ces figures, & outre cela toute la partie FK de la voile de la proue doit être égale à TR dans la figure 2, ou, ce qui revient au même, la largeur ED + FK des voiles frappées doit être égale à ER. Ces choses étant exécutées, on jouira des deux maximum, & on marchera le plus vite qu'il sera possible; car il y auroit à perdre si l'on changeoit la disposition des voiles par rapport au vaisseau, ou si on la changeoit par rapport au vent.

Lorsque le navire, qui n'est sujet à aucune dérive sensible, n'a qu'une voile, le problème sera encore résolu, & même d'une manière beaucoup plus simple: il faudra que la tangente de l'angle apparent d'incidence du vent soit double de l'angle que la voile fait avec la quille, & qu'outre cela la direction absolue du vent soit perpendiculaire à la voile. Supposé qu'on prenne la figure 3 pour représenter ce cas, la tangente de l'angle Fig. 5. apparent d'incidence DCF doit être double de la tangente de l'angle FCA, & il faudra de plus que la direction réelle VCM du vent fasse un angle droit avec la voile, comme nous l'avons fait voir à la fin de l'article II, c'est-à-dire qu'il faudra que l'angle que sont les deux directions du vent, la réelle & l'apparente, soit exactement le complément de l'angle d'incidence apparent.

Il est facile de s'assurer qu'on tomberoit dans des calculs extrêmement longs & très-embarrassans, si on entreprenoit de résoudre ce problème d'une manière absolument directe. Prenons, par exemple, la forme de parallélipipède rectangle, qu'on peut attribuer, comme on l'a vû, à plusieurs navires: supposons, outre cela, que ce vaisseau n'a qu'une voile, & servons-nous des mêmes dénominations que ci-devant, en désignant de plus par la lettre f le nombre de fois que la vîtesse du sillage est contenue dans la vîtesse absolue du vent, lorsqu'on cingle vent en pouppe. Il faudra résoudre l'équation $\frac{{(2a^2+2\mathrm{em}-a^2\sqrt{\frac{e}{m}}-m^2\sqrt{\frac{e}{m}})}^2}{{(m-e)}^2}=\frac{{(f-1)}^2\times a\times {(a^2+m^2)}^{\frac{3}{2}}}{{[m-\sqrt{\left(\mathrm{em}\right)}]}^2}$ en traitant m comme inconnue, pour trouver la cotangente de l'angle que la voile, lorsqu'elle est unique, doit faire avec la quille, afin que la vîtesse du sillage soit un maximum maximorum. Il est vrai que cette équation se réduira à $4a^3={(f-1)}^2\times {(a^2+m^2)}^{\frac{3}{2}}$, & à $\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+m^2)}}=\frac{{(f-1)}^{\frac{2}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}\times a$, lorsque le navire n'a point de dérive, ou lorsqu'il est infiniment étroit, ce qui nous fournit une expression très-simple du sinus $\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+m^2)}}$ de l'angle que la voile doit faire avec la quille; mais en général le problème sera très-compliqué, principalement lorsque le navire aura deux voiles, & il est bien sensiblé qu'il faut, dans de semblables circonstances, avoir recours à la méthode de médiation.

Mais le tâtonnement sera bien plus facile, lorsqu'on se conformera aux pratiques que nous avons indiquées dans ce Mémoire. Nous pouvons nous procurer une Table qui nous marque la grandeur de l'angle apparent d'incidence pour tous les angles que les voiles peuvent faire avec la quille. S'il est toûjours question du navire en parallélipipède rectangle, & qu'il n'ait qu'une voile, la formule $t=\frac{2a^2+2\mathrm{em}-a^2\sqrt{\frac{e}{m}}-m^2\sqrt{\frac{e}{m}}}{m-e}$ nous donnera la tangente t de cet angle apparent d'incidence; mais si après nous être conformés à cette formule ou à la Table qui en sera déduite, nous nous apercevons que les règles de l'article II se trouvent violées, ce sera une marque qu'il faut nécessairement changer la disposition des voiles par rapport au vaisseau: c'est ce qui se sera avec la plus grande facilité, & sans y employer plue de temps qu'on n'en met ordinairement à orienter les voiles.

Lorsque le navire sera excellent voilier, ou lorsqu'il prendra une grande partie de la vîtesse du vent, il faudra donner beaucoup d'obliquité aux voiles, pour obtenir le maximum maximorum de la vîtesse du sillage. Supposé au contraire que le navire soit pesant en fait de marche, il faudra rendre les voiles moins obliques par rapport à la quille, & il pourra arriver qu'on soit obligé de les mettre tout-à-fait perpendiculairement & de recevoir le vent exactement en pouppe. C'est en particulier ce qu'il faudroit faire dans le navire sans dérive, s'il n'avoit qu'une voile & s'il ne prenoit que le tiers de la vîtesse réele du vent dans la route directe; car on auroit alors f = 3, & la petite formule $\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+m^2)}}=\frac{(f-1)\frac{2}{3}}{4^{\frac{1}{3}}}\times a$ se réduiroit à $\frac{a^2}{\sqrt{(a^2+m^2)}}=a$; ce qui nous apprend qu'il faudroit rendre le sinus de l'angle de la voile & de la quille égal au sinus total. Mais sans avoir recours à la solution complète & directe du problème, on sera toûjours averti de ce qu'on aura à faire, si on consulte attentivement nos règles. Comme cet Écrit est déjà assez long, nous reviendrons à cette même matière dans un autre Mémoire.

* Voy. le chap. V des additions à la Pièce qui remporta le Prix de l'Académie en 1727, sur la mâture des vaisseaux: le Traité du navire, page 397 & suiv. les Mémoires de l'Académie de 1733 & 1746.

Bouguer: Solutions des principaux problémes de la manœuvre des vaisseaux.
Académie royale des sciences Année 17__, Paris, 1754. pp 342-368.

Transcribed by Lars Bruzelius.

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