SECOND MÉMOIRE
SUR
LES PRINCIPAUX PROBLEMES
DE LA
MANŒUVRE DES VAISSEAUX.

Par M. BOUGUER.

26 Julliet 1755.

L'ART qu'emploie le Navigateur pour imprimer du mouvement à son vaisseau, se divise naturellement en deux parties: la première ne présente aucune difficulté du côté de la Géométrie, elle se réduit à deux ou trois problèmes dont nous avons la solution; elle enseigne à faire tourner le navire en toutes sortes de sens par le moyen du gouvernail ou des voiles, losqu'on veut faire quelque évolution, ou qu'on veut simplement passer d'une route à une autre. La second partie de la manœuvre, à laquelle nous avons destiné les recherches contenues dans ce Mémoire & dans celui que nous avons déjà donné, est incomparablement plus difficile à traiter géométriquement: elle doit enseigner à régler la route, de même que la situation des voiles & du navire par rapport au vent, lorsqu'on marche constamment sur une certaine ligne. Ces derniers problèmes n'avoient été tentés qu'avec des restrictions qui empêchoient qu'on n'en fit aucune application exacte, ou qui en changeoient presque l'espèce, au lieu que nous avons tâché de les résoudre en ne négligeant aucune des conditions essentielles auxquelles on n'avoit pas eu d'égard jusq'à présent. Il ne nous en reste plus qu'un à examiner, celui dans lequel il s'agit de choisir la route qu'on doit suivre, lorsque'on se propose de s'éloigner le plus promptement qu'il est possible d'une ligne droite dont on connoit la direction.

Ce probléme, qui appartient à la méthode de maximis maximorum, est d'un très-grand usage dans la pratique de la manœuvre. Indépendamment des motifs fréquens qu'on a de vouloir, en mer, avancer vers l'origine du vent, il n'est pas rare qu'on dispute cet avantage à un autre navite: on présente la proue vers le vent, on ne l'en éloigne que de 50 ou 55 dégres: souvent il n'est pas possible de rendre plus aigu l'angle formé par la quille & la direction du vent; mais quand même on réussiroit à diminuer encore cet angle, les voiles n'étant frappées que foiblement, ou même ne l'étant pas, le navire ne seroit que peu poussé dans le sens de sa quille, & il cesseroit de marcher, ou bien il iroit avec trop de lenteur. Si d'un autre côté on augmentoit un peu le même angle; si, au lieu d'éloigner la proue de 50 ou de 60 degrés du point d'où vient le vent, on l'en éloignoit de 70 ou de 80 degrés; si on se rendoit le vent plus favorable en le prenant un peu plus de côté, il est vrai que le sillage deviendroit plus rapide, mais il y en auroit en même temps une moindre partie qui seroit utile, puisque le chemin seroit moins dirigé vers l'origine du vent, & qu'on feroit moins de progrès dans le sens contraire à sa direction, Ce problème, quelque important qu'il soit, n'est néanmoins qu'un cas particulier du problème général dont nous nous proposons de nous occuper. La ligne droite, dont il s'agit de s'éloigner lorsqu'on veut aller au plus près, gagner au vent, ou remonter vers son origine, fait un angle droit avec la direction même du vent; mais il se trouve une infinité de rencontres dans la marine où il est nécessaire de s'écarter d'une ligne droite posée dans toute autre situation.

On n'est que trop à portée, dans le voisinage des terres & d'un mauvais temps, de sentir le prix d'une solution générale. On est quelquefois jeté par un vent impétueux vers une côte dont on est trop proche: il faut alors, pour éviter le dernier péril, choisir la route, non pas celle qui procure le plus de vîtesse au sillage, mais celle qui fait qu'on s'éloigne le plus de la côte dans le sens perpendiculaire, en se servant même de l'effort du vent pour éluder une partie de son effet.

Il s'agit de combiner deux maximum, dont l'un se trouve déjà déterminé dans notre premier Mémoire. Lorsque nous voulons nous éloigner le plus qu'il est possibe l'une certaine direction, il faut, toutes choses d'ailleurs égales, que nous marchions avec la plus grande vîtesse sur la route que nous suivons; ainsi il faut que nous nous conformions à une des solutions que nous avons données, en marquant la relation qu'on doit mettre entre l'angle d'incidence du vent sur les voiles & l'angle que forment les voiles avec la quille. Nous avons réussi à réduire le maximum particulier dont il s'agissoit alors, à des opérations graphiques très-simples en certaines cas; & comme la difficulté en d'autres étoit beaucoup trop grande pour qu'on pût avoir recours en mer sur le champ à une construction géométrique, nous avons cherché les moyens de former, par un calcul toûjours direct, des Tables qui continssent les dispositions les plus avantageuses. Nous suppons ces Tables toutes calculées, il n'est donc question maintenant que de choisir entre ces différens résultats déjà trouvés.

Pour nous énoncer d'une manière plus précise, VC est la direction du vent qui va de V en C, & LN est une parallèle à la côte ou une ligne droite donnée de position, dont on veut que le navire, qui est en C, s'éloigne le plus qu'il est possible: il faut, supposé que CI soit la route & la vîtesse du navire, que NI, qui est la distance perpendiculaire du point I à LN, soit un maximum. Lorsqu'il s'agit de gagner au vent ou de remonter vers son origine, la ligne LN est alors perpendiculaire à la direction du vent; mais nous ne mettons aucune distinction entre ce cas & tous les autres. Nous connoissons la situation la plus avantageuse du vaisseau & des voiles par rapport au vent, pour faire une route CI; nous avons des Tables qui nous marquent ces dispositions: nous cherchons maintenant à l'égard de quelle direction LN chaque route CI rend IN un maximum.

Fig. 1.

Nous nommerons u la vitesse du navire, & prenant a pour sinus total. nous désignerons par z le sinus de l'angle ICN, que fait la route avec la ligne droite dont on veut s'éloigner; nous aurons donc $\frac{uz}{a}$ pour NI, & si nous en prenons la différentielle, en faisant attention que celle de u augmente pendant que celle de z diminue, nous aurons $\frac{zdu - udz}{a}$ , qui étant égalée à zéro, nous donne $\frac{dz}{z} = \frac{du}{u}$ , dont nous pouvons déduire — Lz = Lu.

Ainsi, lorsque nous avons déjà une Table qui nous apprend la disposition la plus avantageuse de la voile & de la quille pour faire chaque route CI, ou que nous sommes assurés par une opération graphique, que la voile & la quille sont bien disposées pour macher avec vitesse sur la direction CI, nous n'avons qu'à déterminer z par le moyen de l'équation $\frac{dz}{z} = \frac{du}{u}$ ou —Lz = Lu, & nous aurons la situation que doit avoir la ligne droite LN par rapport à la route CI.

On voit qu'il s'agit principalement de trouver la valeur de u & de sa différentielle. Considérons la Fig. 2. figure 2, dans laquelle le navire AB a deux voiles, ED & GF, égales & parallèles; supposition qui est toûjours permise, comme nous l'avons fait voir précédemment. La ligne VCM est la direction absolue du vent; l'espace CM représente sa vîtesse, pendant que CI est celle du navire. Il suit de ce que nous avons dit dans le Mémoire cité, que IM est la vîtesse relative du vent; celle qu'on ressent dans le navire en mouvement, est celle dont la direction est marquée par les girouettes qui sont au haut des mâts. Ainsi, en conduisant par le point D une ligne DK parallèle à IM, le point K terminera la partie FK de la voile de la proue, qui est frappé par le vent. Désignant ensuite par f la distance perpendiculaire DH d'une voile à l'autre, & nommant p le sinus de l'angle d'incidence apparent DKF, nous aurons $\frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{p}$ pour KH; & si b désigne les autres parties ED + HF des voiles frappées par le vent, ou aura b + $\frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{p}$ pour la largeur totale qui est sujette à l'impulsion, & il nous viendra b $p^{2}$ + fp $\sqrt{(a^{2} - p^{2})}$ pour cette même impulsion, en multipliant l'étendue des voiles par le carré du sinus d'incidence.

On fait d'ailleurs que pendant le mouvement uniforme du navire, l'impulsion du vent est en équilibre avec celle de l'eau sur la proue, & que celle-ci est le produit du carré de la vîtesse u du navire par la surface plane i, à laquelle la surface courbe de la proue est équivalent en fait de choc. Nous aurons donc l'équation b $p^{2}$ + fp $\sqrt{(a^{2} - p^{2})} = i u^{2}$ dont nous tirons $u^{2} = \frac{b p^{2} + fp \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{i} & du = \frac{bpdp \sqrt{(a^{2} - p^{2})} + ½ a^{2} f dp - f p^{2} dp}{iu \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ , pour le petit changement $I_{i}$ que reçoit la vîtesse u du sillage, lorsque le sinus p de l'angle d'incidence souffre le petit changement dp, l'angle DKF se changeant en DkF. Nous mettons g, pour abréger, à la place de $\frac{bp \sqrt{(a^{2} - p^{2})} + ½ a^{2} f - f p^{2}}{i \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ , & nous avons l'expression $\frac{gdp}{u}$ pour $I_{i}$ .

Mais cette expression ne nous donne pas la vraie valeur de du; elle n'est pas exacte, aussi-tôt qu'il n'est pas permis de regarder la vîtesse du vent comme infinie. Car lorsqu'on laisse les voiles dans la même situation par rapport au vaisseau, & qu'on prend le vent un peu plus ou un peu moins obliquement, ou qu'on fait varier l'angle DKF, on produit nécessairement un autre changement, auquel nous n'avons point en d'égard en différentiant. On fait varier la vitesse apparente du vent, que nous ne sommes donc point en droit de traiter comme constante; c'est pourquoi il faut faire subir à $I_{i}$ un changement qui réponde à celui que nous négligions.

Supposé que nous fissions changer seulement la direction de IM, en la rendant parallèle à DK, il faudroit d'abord transporter IM en Im; mais comme le changement d'incidence, considére seul, produit $I_{i}$ d'augmentation dans la vitesse du sillage, il faut encore transporter IM en iμ, & alors nous aurons Cμ pour la vîtesse absolue du vent & pour sa direction. Il suit de là, que lorsque nous avons cherché la valeur de du ou de $I_{i}$ , en ne faisant varier que le sinus d'incidence apparent p, nous avons trouvé, sans y penser, la différentielle du, qui répondoit non seulement au changement de l'angle d'incidence, mais aussi à l'augmentation Oμ de la vitesse absolue du vent. Nous avons donc rendu $I_{i}$ trop grande, & il nous faut diminuer $C_{i}$ dans le même rapport qu Cμ est plus grande que CM, puisque nous devons regarder ici la vîtesse absolue du vent comme constante. En faisant cette diminution, nous trouverons Ci, & nous auron Ii pour la vraie différentielle du de la vîtesse du navire; différentielle qui a lieu lorsque fait changer la situation du navire par rapport au vent, en laissant les voiles orientées de la même manière par rapport au navire.

Si nous nommons e la vîtesse absolute CM du vent, C le sinus de l'angle MCI, que fait sa direction avec la route CI, & ∫ le sinus de l'angle CMI que font entr'elles des deux directions du vent, la rélle & l'apparente, nous aurons $\frac{cu}{\int}$ pour IM ou pour Im, ou même pour iμ. Les deux premières lignes IM & Im sont l'une avec l'autre un angle égal à l'angle KDk, qui est mesuré par le petit arc $\frac{adp}{\sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ , dont a est le rayon. Mais prenant IM= $\frac{cu}{ƒ}$ pour rayon, nous aurons $\frac{cudp}{ƒ \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ pour le petit arc Mm; & résolvant le petit triangle Mmo rectangle en o, & dont l'angle en M a ƒ pour sinus, puisqu'il est égal à l'angle CMI, nous aurons $\frac{cudp}{a \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ pour om ou pour Oω.

L'autre partie ωμ de Oμ ne sera pas plus difficile à trouver, en résolvant le petit triangle rectangle mμω. L'hypoténuse mμ est parallèle à CI; ainsi l'angle mμω est égal à celui de la route & de la direction absolue du vent, dont C est le sinus: outre cela, mμ est égale à $I_{i} = \frac{bdp \sqrt{(a^{2} - p^{2})} + ½ a^{2} ƒ dp - ƒ p^{2} dp}{iu \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} = \frac{gdp}{u}$ . Nous aurons donc $\frac{gdp \sqrt{(a^{2} - c^{2})}}{au}$ pour ωμ; & si nous l'ajoûtons à $Oω = om = \frac{cudp}{a \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ , il nous viendra en tout $\frac{cudp}{a \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} + \frac{gdp \sqrt{(a^{2} - c^{2})}}{au}$ pour la petite quantité Oμ, dont nous avons rendu la vîtesse absolue du vent trop grande; & puisq'il faut diminuer $C_{i}$ dans le même rapport, nous n'avons qu'à faire cette analogie,
$CM = e : Oμ = \frac{cudp}{a \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} + \frac{gdp \sqrt{(a^{2} - c^{2})}}{au} : : C_{i} = u : ιi = \frac{c u^{2} dp}{ae \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} + \frac{gdp \sqrt{(a^{2} - c^{2})}}{ae}$ . On nous n'avons quà retrancher cette dernière de $I_{i}$ = $\frac{gdp}{u}$ , & il nous viendra $\frac{gdp}{u} - \frac{c u^{2} dp}{ae \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} - \frac{gdp \sqrt{(a^{2} - c^{2})}}{ae}$ pour la valeur de $I_{i}$ ou pour l'exacte valeur de du lorsqu'on a égard à tout.

Il faut nous souvenir maintenant de ce que nous avons vû dès nos premières préparations, que z étant le sinus de l'angle que fait la route avec la ligne droite on veut s'éloigner le plus qu'il est possible, on a l'équation $\frac{dz}{z}$ = $\frac{du}{u}$ : la droite dont on s'éloigne, est ici CN; ainsi z est le sinus de l'angle ICN. Mais losqu'on change la disposition du navire par rapport au vent, c'est selon la perpendiculaire à Cn qu'on veut faire le plus de progrès. Les deux progrès sont IN & in, & ils doivent être égaux entr'eux, ou leur différentielle doit s'anéantir dans le cas du maximum: c'est alors que $\frac{dz}{z} = \frac{du}{u}$ ; & si nous substitutions à la place de du sa valeur $\frac{gdp}{u} - \frac{c u^{2} dp}{ae \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} - \frac{gdp \sqrt{(a^{2} - c^{2})}}{ae}$ , nous aurons $\frac{dz}{z} = \frac{gdp}{u^{2}} - \frac{cudp}{ae \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} - \frac{gdp \sqrt{(a^{2} - c^{2})}}{aeu}$ .

Mais nous avons encore une condition à faire entrer dans notre analyse, qui nous fournira une autre expression du rapport de dz à z. L'angle formé par la direction absolue VM du vent, & la ligne droiteCN dont on veut s'éloigner, est comme donné. Nous avons feint, pour la simplicité de notre figure, comme dans notre premier Mémoire, que le vent changeoit de direction absolue, & que la droite CN prenoit aussi une autre situation; mais puisque l'angle que font ces deux lignes est constant dans le problème auquel nous travaillons, les petits angles NCn & MCμ sont égaux entr'eux. Le premier étant le changement que reçoit l'angle NCI, dont z est le sinus, est mesuré par le petit arc $\frac{adz}{\sqrt{(a^{2} - z^{2})}}$ , dont a est le rayon. Il nous reste après cela à chercher l'autre petit arc qui mesure l'angle MCμ, & à rendre effectivement égaux ces deux arcs.

Nous avons déjà, en résolvant le petit triangle Mno, trouvé mo; nous trouverons l'autre côté Mo par cette analogie, le sinus total a est à $Mm = \frac{cudp}{s \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ comme $\sqrt{(a^{2} - s^{2})}$ , sinus de l'angle Mmo, est à $\frac{cudp \sqrt{(a^{2} - s^{2})}}{as \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ pour la valeur de Mo. Nous passons ensuite au petit triangle mμω pour trouver mω, & nous saisons cette proportion; le sinus total a est à $mμ = \frac{gdp}{n}$ , comme le sinus C de l'angle mμω est à $\frac{cgdp}{au}$ , valeur de mω ou de oO; & l'ajoûtant à l'ajoûtant à $Mo = \frac{cudp \sqrt{(a^{2} - s^{2})}}{as \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ , il nous vient $\frac{cudp \sqrt{(a^{2} - s^{2})}}{as \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} + \frac{cgdp}{au}$ pour le petit arc MO. Enfin cet arc divisé par $CM = e$ , nous donne la grandeur du petit angle MCμ, de même qu'on a celle de l'angle MCN, en divisant par le rayon a sa mesure $\frac{adz}{\sqrt{(a^{2} - z^{2})}}$ . Il nous vient donc, dans le cas de l'égalité des deux angles, $\frac{dz}{\sqrt{(a^{2} - z^{2})}} = \frac{cudp \sqrt{a^{2} - s^{2})}}{aes \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} + \frac{cgdp}{aeu}$ ; & si après avoir multiplé par a cette dernière équation, nous divisions chacun de ses membres par son correpondant de l'équation $\frac{dz}{z} = \frac{gdp}{u^{2}} - \frac{cudp}{ae \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} - \frac{gdp \sqrt{(a^{2} - c^{2})}}{aeu}$ que nous avons trouvée il n'y a qu'un moment, il nous viendra $\frac{az}{\sqrt{(a^{2} - z^{2})}} = \frac{\frac{cu \sqrt{(a^{2} - s^{2})}}{s \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} + \frac{cg}{u}}{\frac{eg}{u^{2}} - \frac{cu}{a \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} - \frac{g \sqrt{(a^{2} - c^{2})}}{au}}$ dont les différentielles sont entièrement bannies, & qui nous donne la solution du problème dans le sens que nous nous l'éditions proposé.

En effet, le premier membre $\frac{az}{\sqrt{(a^{2} - z^{2})}}$ exprime la tangente de l'angle que fait avec la route CI la ligne droite CN, dont on s'éloigne le plus qu'il est possible; & puisque le second membre de cette même équation ne contient que des grandeurs que nous pouvons regarder comme connues, ou dont nous avons la relation, nous sommes en état, pour chaque disposition des voiles & du navire par rapport au vent, de déterminer quelle est la situation de la droite CN qui rend IN un maximum. Si nous voulons épargner toutes les difficultés de ces recherches aux navigateurs, nous n'avons qu'à chercher les angles ICN pour un assez grand nombre de dispositions différentes, nous ajoûterons ces angles à ceux VCI que fait le vent avec la route, nous aurons les angles VCN faits par la direction du vent & par la ligne CN, & nous n'aurons plus qu'à former une table de ces résultats, auxquels on aura recours dans l'occasion.

Le seul inconvénient qui se présente ici, c'est que notre formule n'est pas assez simple, à cause des grandeurs complexes qu'elles contient. Il faut d'abord, à la place de g, introduire la quantité $\frac{bp \sqrt{(a^{2} - p^{2}) + ½ a^{2} f - f p^{2}}}{i \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ . Nous pouvons aussi, par l'examen du grand triangle MCI, chercher le rapport qu'il y a entre $CM = e$ , & $CI = u$ . Le sinus de l'angle CMI est S, & celui de MCI est c; nous aurons donc, conformément aux principes de trigonométrie, $\frac{c \sqrt{(a^{2} - s^{2})} + s \sqrt{(a^{2} - c^{2})}}{a}$ pour le sinus de l'angle $I =$ à la somme des deux autres; ce qui nous donnera $e (= CM) = \frac{uc \sqrt{(a^{2} - s^{2})} + us \sqrt{(a^{2} - s^{2})}}{as}$ ; & si nous nous ressouvenons que $u^{2} = \frac{b p^{2} + fp \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{i}$ , comme nous l'avons trouvé dès le commenement de nos préparations, nous changerons, par des substitutions, notre formule en $\frac{az}{\sqrt{(a^{2} - z^{2})}} = \frac{ab p^{2} \sqrt{(a^{2} - s^{2})} + abps \sqrt{(a^{2} - p^{2})} + afp \sqrt{(a^{2} - s^{2})} \sqrt{(a^{2} - p^{2})} + ½ a^{3} fs - afs p^{2}}{bp \sqrt{(a^{2} - s^{2})} \sqrt{(a^{2} - p^{2})} - b p^{2} s + ½ a^{2} f \sqrt{(a^{2} - s^{2})} - f p^{2} \sqrt{(a^{2} - s^{2})} - fps \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}$ , qui suppose, il est vrai, la connoissance d'un moindre nombre de différentes quantités, mais qui contient toûjours trop de termes pour qu'on puisse la construire aisément.

Si on divise le numérateur & le dénominateur du second membre par $p \sqrt{(a^{2} - p^{2})} \sqrt{(a^{2} - s^{2})}$ , la formule deviendra plus propre à être construite: on aura $\frac{az}{\sqrt{(a^{2} - z^{2})}} = \frac{\frac{abp}{\sqrt{(a^{2} - p^{2})}} + \frac{abf}{\sqrt{(a^{2} - s^{2})}} + af + \frac{a^{2} fs}{2 p \sqrt{(a^{2} - p^{2})} \sqrt{(a^{2} - s^{2})}} - \frac{afsp}{\sqrt{(a^{2} - p^{2})} \sqrt{(a^{2} - f^{2})}}}{b - \frac{bps}{\sqrt{(a^{2} - p^{2})} \sqrt{(a^{2} - s^{2})}} + \frac{a^{2} f}{2 p \sqrt{(a^{2} - p^{2})}} - \frac{fp}{\sqrt{(a^{2} - p^{2})}} - \frac{fs}{\sqrt{(a^{2} - s^{2})}}}$ ; mais nous réussirons à la rendre considérablement plus simple, en substituant à s une autre expression. On reconnoit, en examinat un certain cas particulier de ce problème, que sa solution dépend absolument de l'angle que fait avec les voiles la direction absolue du vent. Profitant de cette lumière, & continuant à nommer p le sinus de l'incidence apparente, nous désignerons par π le sinus de l'angle VCD. L'excès d'un de ces angles sur l'autre aura $\frac{π \sqrt{(a^{2} - p^{2})} - p \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}{a}$ pour sinus: mais cet excès est égal à l'angle CMI, que sont entr'elles les deux directions du vent, la réelle & l'apparente; nous pouvons donc substiuer $\frac{π \sqrt{(a^{2} - p^{2})} - p \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}{a}$ à la place de s, & nous pourrons introduire en même temps $\frac{\sqrt{(a^{2} - p^{2})} \sqrt{(a^{2} - π^{2})} + pπ}{a}$ à la place de $\sqrt{(a^{2} - s^{2})}$ . Les substitutions étant faites, on trouvera, après quelque réduction, $\frac{az}{\sqrt{(a^{2} - z^{2})}} = \frac{\frac{abπ}{\sqrt{(a^{2} - π^{2})}} + ½ af + \frac{afπ \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}}{b + \frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p} - \frac{fπ}{2 \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}}$ , qui, étant plus simple, ne nous offre pas les mêmes difficultés que les formules précédentes.

Construction.

Fig. 3.

Nous supposons qu'on ait déjà déterminé dans la figure 3 l'angle d'incidence apparent le plus convenable UCD pour la disposition des voiles ED & GF par rapport au navire: la ligne UC est la direction apparente du vent, & nous l'avons découverte en nous servant de quelqu'une des pretiques que nous avons enseignées dans notre premier Mémoire, ou bien en résolvant une équation du second degré lorsque le problème s'est trouvé le plus difficile. Connoissant la situation de la direction apparente UC, il est fort aisé, par les règles indiquées dans le même Mémoire, de trouver le rapport qu'il y a entre cette vitesse apparante & celle du navire. En mer, on sera à portée de découvrir ce rapport par des mesures actuelles; mais dans l'un & l'autre cas on n'aura plus besoin que de la résolution d'un simple triangle rectiligne, pour avoir la direction absolue VC du vent.

Ces recherches étant achevées, nous prolongerons la direction apparente UC du vent, qui passe par le milieu C de la voile de la poupe, jusqu'à ce qu'elle rencontre en P la voile de la proue ou son prolongement. Du point P, j'élève une perpendiculaire PQ aux voiles, & je la termine en Q par la recontre de la direction absolue VC du vent, prolongée autant qu'il est nécessaire. On prendra apprès cela le milieu de PQ, & par le point R on conduira la droite RZ parallèlement aux voiles: outre cela, du point C on tiera, jusqu'à la rencontre de l'autre voile, la perpendiculaire CS à la direction absolue du vent. Du milieu T de PS, on élevera jusqu'à RZ la perpendiculaire TX. Enfin, on prolongera vers f la voile de la proue, en lui ajoûtant, par la pensée, la partie Ff, qu'on rendra égale à la moitié de ED: on élevera en f la perpendiculaire fV à la surface des voiles, & du point V, où cette ligne coupera la direction absolue VC, on ne sera que tirer la droite VX, & on aura l'angle VXZ égal à celui que la route du navire doit faire avec la direction de la côte, pour que la quantité dont on s'en éloigne soit un maximum; c'est-à-dire que l'angle VXZ de la figure 3 nous marquera la grandeur que doit avoir l'angle ICN dans les figures 1 & 2.

Cette construction étant générale, doit s'étendre à tous les cas. Si le vaisseau n'avoit qu'une voile, ce seroit la même chose que si leurs deux plans se confondoient, ou qu'on fit disparoître l'intervalle CL on DH qu'il y a entre les deux; alors les points P, Q, R se confondroient avec le point C, de même que les points S, T, L, & X. Ainsi la ligne VX tomberoit sur la direction absolue du vent; & dans ce cas, Fig. 2. il faudroit donc que l'angle ICN, formé par la route du navire & par le gissement de la côte, ou par la ligne droite dont on s'éloigne, fût égal à l'angle VCD, fait par la direction absolue du vent & par la voile. Fig. 3. Nous ne connoissions que cette seule règle pour le problème dont il s'agit; je l'avois établie dans le traité du navire, mais on voit qu'elle donne le plus petit angle possible que doit former la route avec la côte dont on s'éloigne, & que dans les autres cas cet angle doit toûjours être plus grand.

Il se présente encore une autre remarque très-digne d'attention. Si la direction absolue VC faisoit un très-grand angle avec la surface des voiles, la perpendiculaire CS à cette direction iroit rencontrer le plan de la voile de la proue en un point S, qui seroit en dehors de F. Ce point pourroit même se trouver si grande distance, que les points T & X fussent aussi en dehors de F & de Z. Alors l'angle VXZ seroit négatif, & ce seroit une marque que la ligne CN, qui rend IN un maximum dans la figure 1 & 2, doit être située d'un autre côté par rapport à la route CI, c'est-à-dire, qu'elle doit être placée entre VC & CI. Nous sommes bien sûrs qu'on a manqué une infinité de fois à faire cette distinction dans la pratique de la manœuvre. Les deux cas sont séparés aussi-bien dans les navires qui ont plusieurs voiles, que dans ceux qui n'en ont qu'une seule, par la route qui donne au sillage la plus grande vitesse absolue, & qu'on doit suivre pour s'éloigner le plus promptement qu'il est possible du point où l'on se trouve.

Au surplus, l'opération précédente se déduit d'une manière si naturelle de notre formule $\frac{az}{\sqrt{(a^{2} - z^{2})}} = \frac{\frac{abπ}{\sqrt{(a^{2} - π^{2})}} + ½ af + \frac{afπ \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}}{b + \frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p} - \frac{fpi}{2 \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}}$ , que nous pourrions nous dispenser de le faire voir, CL étant désignés par f, & p étant le sinus de l'angle CPL, nous aurons $LP = \frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{p}$ . La ligne CS est perpendiculaire à la direction absolue VC du vent, qui fait, avec la voile, un angle dont π est le sinus; par conséquent LS est égale à $\frac{fπ}{\sqrt{(a^{2} - π^{2})}}$ , & nous aurons $\frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p} + \frac{fπ}{2 \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}$ pour TP: mais si nous ôtons cette quantité de $Pf = PL + Lf = \frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{p} + b$ , il nous viendra $b + \frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p} - \frac{fπ}{2 \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}$ pour Tf, ce qui nous montre que XZ, qui est égale à Tf, est le dénominateur du second membre de notre formule.

Quant au numérateur, il est représenté par VZ, qui est égal à $\frac{bπ}{\sqrt{(a^{2} - p^{2})}} + ½ f + \frac{fπ \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}$ . En effet, nous avons PL ou $YC = \frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{p}$ , & si de YC nous passons à YQ, en nous ressouvenant que π est le sinus de l'angle YCQ, nous aurons $\frac{fπ \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{p \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}$ pour YQ, & par conséquent nous aurons $YR = ½ f + \frac{fπ \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}$ . Cette valeur est aussi celle de ΔZ, & si nous y ajoûtons VΔ, qui est égale à $\frac{bπ}{\sqrt{(a^{2} - π^{2})}}$ , il nous viendra $VZ = V Δ + Δ Z = \frac{bπ}{\sqrt{(a^{2} - π^{2})}} + ½ f + \frac{fπ \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}$ . Enfin, puisque dans le grand triangle VZX, les côtés ZX & ZV sont $b + \frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p} - \frac{fπ}{2 \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}$ & $\frac{bπ}{\sqrt{(a^{2} - π^{2})}} + ½ f + \frac{fπ \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}$ , il est évident que le second membre $\frac{\frac{abπ}{\sqrt{(a^{2} - π^{2})}} + ½ af + \frac{afπ \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}}{b + \frac{f \sqrt{(a^{2} - p^{2})}}{2 p} - \frac{fπ}{2 \sqrt{(a^{2} - π^{2})}}}$ de notre formule n'est autre chose que $\frac{axZV}{ZX}$ , & qu'il désigne désigne la tangente de l'angle VXZ, pendant que a marque le sinus total. Mais comme le premier membre $\frac{az}{\sqrt{(a^{2} - z^{2})}}$ exprime la tangente de l'angle formé par la route & par la direction de la côte, il s'ensuit que ces deux angles doivent être égaux, c'est-à-dire, que dans la première figure la quantité NI, dont on s'éloigne de la ligne droite LN, ne forme un maximum que lorsque l'angle ICN que fait la route avec cette droit, est égal à l'angle VXZ de la troisième figure.

Pierre Bouguer: Second mémoire sur les principaux problemes de la manœuvre des vaisseaux.
In: Histoire de l'Académie Royale des Sciences. Anne M. DCCLV. Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique, sur la même Année.
Académie royale des sciences, Paris, 1761. pp 355-369.

Transcribed by Lars Bruzelius.

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SECOND MÉMOIRE SUR LES PRINCIPAUX PROBLEMES DE LA MANŒUVRE DES VAISSEAUX.

Par M. BOUGUER.

Construction.

SECOND MÉMOIRE
SUR
LES PRINCIPAUX PROBLEMES
DE LA
MANŒUVRE DES VAISSEAUX.